Неравенство Чебышёва

В Википедии существует статья о другом неравенстве, носящем имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва для сумм.

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство в стандартной формулировке➤, домноженное на ${\displaystyle c.}$ Демонстрирующая анимация

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства ${\displaystyle L_{p}}$ в слабое пространство ${\displaystyle L_{p}}$.

Стандартная формулировка

Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — пространство с мерой. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема и неотрицательна на множестве ${\displaystyle A}$, то для любой положительной константы ${\displaystyle c}$ мера множества всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$, для которых значение ${\displaystyle f(x)}$ не меньше ${\displaystyle c}$, сама не больше интеграла от ${\displaystyle f(x)}$ по ${\displaystyle A}$, делённого на ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle \mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx).}$

Обобщённая формулировка

Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть ${\displaystyle g(x)}$ также интегрируема и неотрицательна на множестве ${\displaystyle A}$, но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей области значения ${\displaystyle f(x)}$ и в точке ${\displaystyle c}$). Тогда мера множества всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$, для которых значение ${\displaystyle f(x)}$ не меньше ${\displaystyle c}$, сама не больше интеграла от композиции ${\displaystyle g{\big (}f(x){\big )}}$ по ${\displaystyle A}$, делённому на ${\displaystyle g(c)}$:

${\displaystyle \mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx).}$

Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять ${\displaystyle g(x)=x.}$

Формулировка в терминах пространства Lₚ

Пусть ${\displaystyle \phi (x)\in L_{p}}$. Тогда

${\displaystyle \mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.}$

В теории вероятностей

Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировка

Пусть случайная величина ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, а её математическое ожидание ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ конечны. Тогда

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}}$, где ${\displaystyle a>0}$.

Если ${\displaystyle a=k\sigma }$, где ${\displaystyle \sigma }$ — стандартное отклонение и ${\displaystyle k>0}$, то получаем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше ${\displaystyle 25\%}$. Отклоняется от среднего на ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью меньше ${\displaystyle 11.12\%}$. Иными словами, случайная величина укладывается в ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 75\%}$ и в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 88.88\%}$

Для важнейшего случая одномодальных^[англ.] распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь ${\textstyle {\frac {4}{9}}}$. Таким образом, граница в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включает ${\displaystyle 95.06\%}$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включают ${\displaystyle 99.73\%}$ значений случайной величины.

Доказательство

Докажем теорему в обобщённой формулировке➤. Обозначим за ${\displaystyle A_{c}}$ искомое множество ${\displaystyle \{x\in A:f(x)\geqslant c\}.}$ Тогда интеграл от композиции по ${\displaystyle A}$ можно разбить на сумму двух интегралов: по ${\displaystyle A_{c}}$ и по ${\displaystyle A\setminus A_{c}}$, оба из которых неотрицательны, так что интеграл от композиции по ${\displaystyle A}$ не меньше, чем интеграл по ${\displaystyle A_{c}}$ — один из них. В то же время на всём множестве ${\displaystyle A_{c}}$ функция ${\displaystyle f(x)}$ не меньше ${\displaystyle c}$ по построению, поэтому на нём значение композиции ${\displaystyle g{\big (}f(x){\big )}}$ не меньше ${\displaystyle g(c)}$ в силу свойств неубывания, а потому и интеграл от композиции по ${\displaystyle A_{c}}$ больше или равен интегралу от ${\displaystyle g(c)}$ по ${\displaystyle A_{c}}$. Последний равен произведению меры ${\displaystyle A_{c}}$ на ${\displaystyle g(c)}$, ведь ${\displaystyle g(c)}$ константа. Поделив на ${\displaystyle g(c)}$, получим исходное соотношение. Формализуя вышесказанное получаем доказываемое неравенство:

${\displaystyle {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)={\frac {1}{g(c)}}\left(\int \limits _{A_{c}}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)+\int \limits _{A\setminus A_{c}}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)\right)\geqslant {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A_{c}}g{\big (}f(x){\big )}\,\mu (dx)\geqslant {\frac {1}{g(c)}}\int \limits _{A_{c}}g(c)\,\mu (dx)={\frac {1}{g(c)}}\cdot g(c)\mu A_{c}=\mu A_{c}.}$

См. также

• Оценка Чернова

Литература

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — С. 300—301.
• Коллектив авторов. Московский математический сборник. — М., 1867. — Т. 2.

Ссылки

• П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9