Пустое множество

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Обозначение пустого множества

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

${\displaystyle \in }$-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Пустое множество играет исключительно важную роль в математике^[1].

Обозначения пустого множества

Символы со сходным начертанием: Ø · ø · ⌀

Пустое множество
∅
Изображение
◄ ∁ ∂ ∃ ∄ ∅ ∆ ∇ ∈ ∉ ►
Характеристики
Название	empty set
Юникод	U+2205
HTML-код	∅ или ∅
UTF-16	0x2205
URL-код	%E2%88%85
Мнемоника	∅

Обычно пустое множество обозначают как ${\displaystyle \varnothing }$, ${\displaystyle \emptyset }$ или ${\displaystyle \{\}}$. Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: ${\displaystyle \Lambda }$ и ${\displaystyle 0}$^[2].

Символы ${\displaystyle \varnothing }$ и ${\displaystyle \emptyset }$ введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году. Прообразом послужила буква Ø из датско-норвежского алфавита^[3].

Символ «пустое множество» представлен в Юникоде (U+2205 ∅ empty set)^[4] и, хотя он отсутствует в стандартных раскладках клавиатуры, может быть введён с клавиатуры:

• в HTML как ∅ или ∅ или ∅;
• в LaTeX его код \varnothing (символ ${\displaystyle \emptyset }$ кодируется \emptyset);
• в Microsoft Word символ можно получить, введя 2205 и нажав Alt+X;
• в Windows с помощью Alt-кода Alt+8709;
• в системах, использующих X Window System (Unix/Linux/ChromeOS и др.), с помощью комбинации Ctrl+⇧ Shift+u 2205Пробел или с использованием клавиши Compose, нажав поочерёдно Compose{}^[5].

В текстах на таких языках, как датский или норвежский, где символ пустого множества может быть спутан с буквой алфавита Ø (при использовании в лингвистике), вместо него может быть использован символ Юникода U+29B0 ⦰ reversed empty set (HTML ⦰)^[6].

Свойства пустого множества

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (a\notin \varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \notin \varnothing }$.
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \subseteq a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \subseteq \varnothing }$.
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \cup a=a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \cup \varnothing =\varnothing }$.
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \cap a=\varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \cap \varnothing =\varnothing }$.
• Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (a\cap {\overline {a}}=\varnothing )}$.
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (a\setminus \varnothing =a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \setminus \varnothing =\varnothing }$.
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \setminus a=\varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \setminus \varnothing =\varnothing }$.
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \triangle a=a\ \land \ a\triangle \varnothing =a)}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \triangle \varnothing =\varnothing }$
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, ${\displaystyle \forall a\ (\varnothing \times a=\varnothing \ \land \ a\times \varnothing =\varnothing )}$ и, в частности, ${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$.
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, ${\displaystyle \mathrm {Trans} (\varnothing )}$, где ${\displaystyle \mathrm {Trans} (\varnothing )\Leftrightarrow \forall b\ (b\in \varnothing \to b\subseteq \varnothing )}$.
• Пустое множество — не рефлективно, симметрично, антисимметрично.
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, ${\displaystyle \mathrm {Ord} (\varnothing )}$, где ${\displaystyle \mathrm {Ord} (\varnothing )\Leftrightarrow \mathrm {Trans} (\varnothing )\ \land \ \forall b\ (b\in \varnothing \to \mathrm {Trans} (b))}$.
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ${\displaystyle |\varnothing |=0}$.
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$.

См. также

• Аксиома пустого множества
• Аксиоматика теории множеств

Примечания

1. Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.

   Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — С. 117.
2. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. — 3rd. — McGraw-Hill, 1976. — P. 300. — ISBN 007054235X.
3. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Дата обращения: 28 сентября 2010. Архивировано 21 августа 2011 года.
4. The Unicode Standard, Version 13.0. Mathematical Operators, Range: 2200–22FF (англ.) (PDF). Unicode Inc^[англ.] (2020). Дата обращения: 6 августа 2020. Архивировано 12 июня 2018 года.
5. Monniaux, David UTF-8 (Unicode) compose sequence (англ.). — Файл конфигурации вводимых с помощью клавиши Compose символов. Дата обращения: 25 июня 2020. Архивировано 3 августа 2020 года.
6. Например, Grønnum, Nina. Fonetik og Fonologi: Almen og dansk : [датск.]. — Copenhagen : Akademisk forlag, 2013. — ISBN 978-87-500-4045-3, 87-500-4045-6.

Литература

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392