Модель растущего разнообразия товаров

Моде́ль расту́щего разнообра́зия това́ров (модель Пола Ромера, англ. product variety model) — трёхсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях монополистической конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного поведенческими факторами. В модели технологический прогресс является следствием целенаправленной деятельности экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Модель внесла существенный вклад в понимание того, каким образом решения индивидов влияют на темпы экономического роста, а также причин, по которым бедные страны не могут догнать богатые. Разработана в 1988 году Полом Ромером.

Пол Майкл Ромер

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научного прогресса», от которых в конечном итоге и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Появившиеся позже модели Рамсея — Касса — Купманса и пересекающихся поколений преодолели недостаток экзогенности нормы сбережений — теперь эта величина определялась исходя из индивидуальных решений экономических агентов. Однако темп научного прогресса остался экзогенным в этих моделях, и во многом поэтому они тоже не смогли объяснить межстрановые различия. Модели, объясняющие экономический рост путём переопределения понятия «капитал», и включившие человеческий капитал в производственную функцию (например, модель Мэнкью — Ромера — Вейла) также не объясняют всех различий между темпами роста и уровнем развития разных стран, даже после учёта различий в человеческом капитале^[1]. Это показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса^[2], Дж. Де Лонга^[3], П. Ромера^[4]. Попытки прямого включения переменной научного прогресса в производственную функцию натолкнулись на ограничение, связанное с отдачей от масштаба. В условиях совершенной конкуренции при постоянной отдаче от масштаба доход фирмы полностью уходил на оплату труда и капитала. Поэтому будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер предложил использовать в моделях монополистическую конкуренцию для объяснения темпов технологического прогресса^[5]. Модель растущего разнообразия товаров^{[6][5][7][8][9]} (также известная как модель Пола Ромера^[10]) была представлена на конференции «Проблема экономического развития: изучение экономического развития через свободное предпринимательство», состоявшейся в Университете штата Нью-Йорк в Буффало в мае 1988 года, опубликована в работе Пола Ромера «Эндогенные технологические изменения»^[11] в декабре 1989 года в NBER и издана в Journal of Political Economy^[англ.] в 1990 году^[12].

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: промежуточных товаров^[англ.], конечных товаров^[англ.] и НИОКР. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно^[12][13].

Трудовые ресурсы ${\displaystyle L}$, считающиеся в модели постоянными (${\displaystyle L=const}$), распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКР^[12]:

${\displaystyle L=L_{Y}+L_{RD}}$,

где ${\displaystyle L_{Y}}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве, которые в модели считаются постоянными во времени, ${\displaystyle L_{Y}=const}$, ${\displaystyle L_{RD}}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle L_{RD}=const}$.

Производственная функция обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — Стиглица^[12]:

${\displaystyle Y_{t}=AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$,

где ${\displaystyle Y_{t}}$ — выпуск конечного продукта, ${\displaystyle A}$ — уровень технологической производительности в экономике, ${\displaystyle A=const}$, ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по промежуточному товару, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, ${\displaystyle \alpha =const}$, ${\displaystyle x_{j}}$ — количество используемого ${\displaystyle j}$-го промежуточного продукта, ${\displaystyle N_{t}}$ — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени ${\displaystyle t}$.

Физический капитал ${\displaystyle K}$ в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном цикле^[14]:

${\displaystyle K_{t}=\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}dj}$.

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: ${\displaystyle P=1}$. Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: ${\displaystyle p_{j}={\frac {P_{j}}{P}}}$. Реальная заработная плата равна ${\displaystyle w={\frac {W}{P}}}$.

Инвестиции ${\displaystyle I}$ в модели равны сбережениям ${\displaystyle S}$ и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетов^[12]:

${\displaystyle I_{t}={\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}}$,

где ${\displaystyle C_{t}=c_{t}L}$ — совокупное потребление, ${\displaystyle c_{t}}$ — потребление на единицу труда в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle {\dot {K}}}$ — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса^[12]:

${\displaystyle U(c)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho t}{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}dt}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \theta =const}$, ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$, ${\displaystyle \rho =const}$. Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\ \lim _{c\to \infty }u'(c)=0} .

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых^[15]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geqslant 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Задача фирмы и производство промежуточного и конечного продуктов

Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Задача фирмы-производителя конечных товаров выглядит следующим образом^[12][16]:

${\displaystyle AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj-\int \limits _{0}^{N_{t}}p_{j}x_{j}dj-wL_{Y}\longrightarrow {\underset {x_{j},L_{Y}}{\max }}}$,

Необходимые условия максимума выглядят следующим образом^[12][16]:

${\displaystyle p_{j}=\alpha Ax_{j}^{\alpha -1}L_{Y}^{1-\alpha }\ \forall j}$,

${\displaystyle w=(1-\alpha )AL_{Y}^{-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$

Для упрощения вычислений автор принимает предпосылку о том, что все промежуточные продукты одинаковы^[12] ${\displaystyle x_{j}=x\ \forall j}$, что означает, что и их цены равны: ${\displaystyle p_{j}=p_{x}\ \forall j}$. В этом случае функция спроса на ${\displaystyle j}$-й промежуточный продукт имеет вид:

${\displaystyle x_{j}=x=L_{Y}\left(A{\frac {\alpha }{p_{x}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Далее вводится предпосылка о том, что ввод нового ${\displaystyle (j+1)}$-го товара вознаграждается монополией на его производство, а издержки единицы промежуточного продукта равны ${\displaystyle \gamma }$. Тогда задача максимизации прибыли монополиста-производителя нового товара примет следующий вид:

${\displaystyle \alpha Ax_{j+1}^{\alpha -1}L_{Y}^{1-\alpha }-\gamma x_{j+1}\longrightarrow {\underset {x_{j+1}}{\max }}}$.

Откуда следует, что цена нового товара равна: ${\displaystyle p_{j+1}={\frac {\gamma }{\alpha }}}$.

Поскольку действует предпосылка о симметрии, это означает, что цены всех промежуточных товаров ${\displaystyle x_{j}}$ равны между собой. В итоге получаем производственную функцию следующего вида^[17]:

${\displaystyle Y_{t}=A^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {\alpha ^{2}}{\gamma }}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}N_{t}L_{Y}}$.

Прибыль производителя промежуточного продукта — ${\displaystyle {\pi }_{x}}$ — равна^[17]:

${\displaystyle {\pi }_{x}=(1-{\alpha }){\gamma }^{-\alpha }{\alpha }^{\frac {1+{\alpha }}{1-{\alpha }}}A^{\frac {1}{1-{\alpha }}}L_{Y}=const}$.

Научно-исследовательский сектор и патенты

Патент в модели даёт монопольное право на производство одного вида промежуточного продукта. Цена патента равна стоимости будущей дисконтированной прибыли фирмы-монополиста. ${\displaystyle q}$ — цена патента, имеет следующий вид^[12][18]:

${\displaystyle q={\pi }_{x}\int \limits _{t}^{\infty }e^{-\int \limits _{t}^{s}r_{\nu }d{\nu }}ds}$,

где ${\displaystyle r}$ — процентная ставка.

Производная ${\displaystyle q}$ по времени имеет следующий вид: ${\displaystyle {\dot {q}}=-{\pi }_{x}+r_{t}q_{t}}$.

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравнения^[18]:

${\displaystyle {\dot {N}}=bL_{RD}N_{t}}$,

где ${\displaystyle b}$ — производительность в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle b=const}$, ${\displaystyle {\dot {N}}}$ — производная количества промежуточных продуктов по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров ${\displaystyle N_{t}}$.

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента ${\displaystyle q}$ равна предельным издержкам по разработке новой технологии ${\displaystyle \eta }$^[18]:

${\displaystyle q={\frac {w}{bN}}=const=\eta }$.

Задача потребителя и экономический рост

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). С учетом того, что население постоянно, бюджетное ограничение имеет вид:

${\displaystyle {\dot {a}}=w_{t}+r_{t}a_{t}-c}$.

Задача потребителя, как и в большинстве других моделей экономического роста, в том, чтобы максимизировать свою полезность. Максимум функции полезности ${\displaystyle U(c)}$ находится путём построения функции Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Нахождение максимума функции Гамильтона

Функция Гамильтона выглядит следующим образом^[19][20]:

${\displaystyle H={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}e^{-\rho t}+\lambda _{t}(w+ra_{t}-c)}$

при условии:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geqslant 0}$.

Условие максимума первого порядка: ${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial c}}=c^{-\theta }e^{-\rho t}-\lambda _{t}=0}$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): ${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial a}}=r\lambda _{t}=-{\dot {\lambda }}}$, где ${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$ — производная ${\displaystyle \lambda }$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}a_{t}=0}$, где ${\displaystyle \lambda _{t}}$ представляют собой теневые цены^[англ.] активов^[21] (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци^[22][23].

Решение выглядит следующим образом^[19][20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-{\rho })}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента ${\displaystyle q}$ постоянна, потому^[24][25]:

${\displaystyle r_{t}={\frac {\pi }{q}}}$,

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {\dot {Y}}{Y}}={\frac {\dot {K}}{K}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi }{q}}-{\rho }\right)={\frac {1}{\theta }}({\alpha }bL_{Y}-{\rho })=const}$,

где ${\displaystyle {\dot {Y}}}$ — производная выпуска по времени.

Таким образом, внутренние параметры модели определяют темпы экономического роста без участия экзогенно задаваемой нормы сбережений.

Оптимальные темпы роста

Оптимальные с точки зрения общества в целом темпы роста находятся из решения следующей задачи централизованного планирования^[12][26]:

${\displaystyle \max \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {C^{1-{\theta }}}{1-{\theta }}}e^{-{\rho }t}dt}$

при условиях

${\displaystyle {\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}=K_{t}^{\alpha }AL_{Y}^{1-\alpha }N^{1-\alpha }-C_{t}}$,

${\displaystyle {\dot {N}}=bL_{RD}N_{t}}$,

${\displaystyle L_{Y}+L_{RD}=L}$.

Нахождение максимума функции Гамильтона

Для решения этой задачи динамической оптимизации строится функция Гамильтона, которая решается при помощи принципа максимума Понтрягина^[27]:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {C^{1-{\theta }}}{1-{\theta }}}e^{-{\rho }t}+{\lambda _{t}}(Y_{t}-C_{t})+{\mu }_{t}bL_{RD}N_{t}+\chi (L_{Y}+L_{RD}-L)}$.

Условия максимума первого порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial C}}=C^{-\theta }e^{-\rho t}-\lambda _{t}=0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial L_{Y}}}={\lambda }_{t}(1-\alpha )A{\biggl (}{\frac {K_{t}}{L_{Y}}}{\biggr )}^{\alpha }N^{1-\alpha }+\chi =0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial L_{RD}}}=\mu _{t}bN_{t}+\chi =0}$.

Фазовые координаты (сопряжённые уравнения):

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial K}}=\lambda _{t}\alpha A{\biggl (}{\frac {L_{Y}}{K_{t}}}{\biggr )}^{1-\alpha }N^{1-\alpha }=-{\dot {\lambda }}}$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial N}}=\lambda _{t}(1-\alpha )K^{\alpha }L_{Y}^{1-\alpha }N^{-\alpha }+\mu _{t}bL_{RD}=-{\dot {\mu }}}$,

где ${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$ и ${\displaystyle {\dot {\mu }}}$ — производные ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ по времени, где ${\displaystyle \lambda _{t}}$ представляет собой теневую цену капитала, а ${\displaystyle \mu _{t}}$ — теневую цену научных исследований.

Исходя из фазовых координат и условий максимума первого порядка находятся оптимальные темпы роста^[28]:

${\displaystyle {\Biggl (}{\frac {\dot {Y}}{Y}}{\Biggr )}_{opt}={\frac {1}{\theta }}((1-\alpha )^{-{\frac {1}{\alpha }}}\alpha bL-{\rho })}$.

Более высокие темпы роста при централизованном планировании (поскольку ${\displaystyle (1-\alpha )^{-{\frac {1}{\alpha }}}>1}$)^[28], чем при максимизации прибылей фирм-монополистов, достигаются за счёт того, что, во-первых, учитывается весь объём выпуска, а не только прибыль монополистов, во-вторых, учитывается отдача всех трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$, а не только тех, которые формируют прибыль монополистов, и в-третьих, уровень финансирования научно-исследовательского сектора выше. Однако данные темпы роста достижимы лишь в теории, механизма перехода к оптимальным параметрам модель не предполагает^[29].

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

В предшествующих моделях экономического роста (например, АК-модель, модель пересекающихся поколений, модель Рамсея — Касса — Купманса) не была раскрыта целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. В них инвестиционные решения принимаются опосредованно, через оптимальный уровень физического капитала. Явная же спецификация издержек и выгод от инвестиций отсутствовала. Модель растущего разнообразия товаров преодолела этот недостаток: в ней издержки и выгоды от инвестиций отражены в явном виде. Таким образом, экономический рост в модели является следствием решений индивидов, а не экзогенно задаваемой переменной, что является несомненным её преимуществом^[30]. Вследствие этого модель растущего разнообразия товаров существенно лучше объясняет различия в технологическом уровне между странами, чем предшествующие модели, которые в большинстве своём предполагали наличие абсолютной или условной конвергенции, что означает, что бедные страны по своему уровню развития должны догонять богатые. В реальности же лишь есть лишь единичные примеры (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо), когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве случаев сближения уровня развития не происходит^[31]. Модель растущего разнообразия товаров не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые^[32].

Вместе с тем существенным недостатком модели является отсутствие перетока технологий между странами^[33]. Однако модель обладает большим потенциалом для дальнейших расширений и включения дополнительных эффектов^[29]. Этим воспользовались Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин, создавшие модель распространения технологий, преодолевшую этот недостаток^[34]. В их исследовании моделируется процесс движения технологий между странами. Страны делятся на 2 группы: страны-лидеры разрабатывает новые технологии, а страны-последователи пытаются их повторить. В этой модели наблюдается условная конвергенция. Помимо этого, в модели Барро и Сала-и-Мартина показано, что страны-последователи имеют более высокую ставку процента, чем страны-лидеры, но она снижается в долгосрочном периоде. В странах-лидерах ставка процента колеблется вокруг равновесного значения^[35].

Другим существенным недостатком модели является зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$, что предполагает, что большие (с точки зрения населения) страны должны расти существенно быстрее малых, что не нашло эмпирического подтверждения^[32]. Например, Чарльз Джонс показал, что это не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил модель^[англ.], объясняющую полученные результаты, которая является упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаров, в которой количество инноваций зависит не от общего числа, а от доли населения, занятого в секторе НИОКР^[36].

Джин Гроссман и Эльханан Хелпман использовали модель растущего разнообразия товаров для анализа последствий мировой торговли^[37]. Модель Ромера является одним из источников теории экономической сложности^[англ.], в частности, моделей приспособленности стран и сложности продуктов, разрабатываемых Лучано Пьетронеро^[англ.] и его коллегами^[38].

В 2018 году Пол Ромер получил Нобелевскую премию по экономике, и ряд экспертов связывают её с разработкой модели растущего разнообразия товаров, поскольку она стала основой для исследований разницы между богатыми и бедными странами, а также позволяет рассчитать стоимость патента^[39][40][41].

Примечания

1. Шараев, 2006, с. 119.
2. Hall, Jones, 1996.
3. De Long, 1988.
4. Romer P. M., 1989.
5. Туманова, Шагас, 2004, с. 217.
6. Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 370.
7. Аджемоглу, 2018, с. 692.
8. Onyimadu, 2015, с. 505.
9. Palgrave (Howitt), 2018, с. 3633—3636.
10. Шараев, 2006, с. 120.
11. Romer P., 1989.
12. Romer, 1990.
13. Шараев, 2006, с. 120—121.
14. Шараев, 2006, с. 121.
15. Аджемоглу, 2018, с. 676.
16. Туманова, Шагас, 2004, с. 218.
17. Шараев, 2006, с. 123.
18. Шараев, 2006, с. 124.
19. Шараев, 2006, с. 125.
20. Аджемоглу, 2018, с. 675.
21. Туманова, Шагас, 2004, с. 230.
22. Аджемоглу, 2018, с. 445.
23. Palgrave (Kamihigashi), 2018, с. 13860.
24. Шараев, 2006, с. 126.
25. Аджемоглу, 2018, с. 677.
26. Шараев, 2006, с. 127—129.
27. Шараев, 2006, с. 127.
28. Аджемоглу, 2018, с. 681.
29. Шараев, 2006, с. 130.
30. Аджемоглу, 2018, с. 629.
31. Аджемоглу, 2018, с. 698.
32. Туманова, Шагас, 2004, с. 220.
33. Аджемоглу, 2018, с. 699.
34. Barro, Sala-i-Martin, 1995.
35. Шараев, 2006, с. 132.
36. Jones, 1995.
37. Grossman, Helpman, 1991.
38. Pietronero et al, 2014.
39. Кому и за что присудили нобелевские премии - 2018  (неопр.). ТАСС. Дата обращения: 31 августа 2019. Архивировано 31 августа 2019 года.
40. Второй молоток не удвоит экономический рост. За что Ромеру присудили премию памяти Нобеля  (неопр.). ТАСС. Дата обращения: 31 августа 2019. Архивировано 31 августа 2019 года.
41. The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2018 (англ.). NobelPrize.org. Дата обращения: 7 декабря 2019. Архивировано 21 мая 2020 года.

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Акаев А. А. Модели инновационного экономического роста AN-типа // МИР (Модернизация, Инновация, Развитие). — 2015. — Т. 6, № 2. — С. 70—79. — doi:10.18184/2079-4665.2015.6.2.70.79.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Джонс Ч. И., Воллрат Д. Введение в теорию экономического роста = Introduction to Economic Growth. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 296 с. — ISBN 978-5-7749-1299-5.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Шараев Ю. В. Теория экономического роста. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. — 254 с. — ISBN 5-7598-0323-9.
• Barro R. D., Sala-i-Martin X. Technological Diffusion, Convergence, and Growth // NBER Working Paper. — 1995. — № 5151. — doi:10.3386/w5151.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review^[англ.]. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154. — JSTOR 1807174.
• Grossman G., Helpman E. Innovation and Growth in the Global Economy. — Cambridge, MA: MIT Press, 1991. — ISBN 978-0-26207-136-9.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Howitt P. W. Endogenous Growth Theory // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — London: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 3632—3636. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Jones C. I. R&D-Based Models of Economic Growth // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1995. — Vol. 103, № 4. — P. 759—784.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — London: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Onyimadu C. An Overview of Endogenous Growth Models: Theory and Critique // SSRN Electronic Journal^[англ.]. — 2015. — Vol. 5, № 3. — P. 498—514. — doi:10.2139/ssrn.2685545.
• Romer P. M. Endogenous Technological Change // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1990. — Vol. 98, № 5. — P. 71—102.
• Romer P. M. Endogenous Technological Change // NBER Working Paper. — 1989. — № 3210. — doi:10.3386/w3210.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Zaccaria A., Cristelli M., Tacchella A., Pietronero L.^[англ.]. How the Taxonomy of Products Drives the Economic Development of Countries // PLOS One. — 2014. — Vol. 9, № 12. — P. e113770. — doi:10.1371/journal.pone.0113770.