Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
В математике конференс-матрица (также называемая C-матрица, конференц-матрица) — это квадратная матрица C с нулями на диагонали, и с +1 и −1 вне диагонали такая, что CTC кратна единичной матрице I. Таким образом, если матрица C имеет порядок n, то CTC = (n−1)I. Некоторые авторы дают более общее определение, требуя наличия нуля в каждой строке и в каждом столбце, но не обязательно на диагонали[1][2].
Конференс-матрицы изначально возникли в связи с задачами телефонии[3]. Их ввёл Витольд Белевич, термин конференс-матрица ввёл он же. Белевич интересовался созданием идеальной телефонной сети конференц-связи из идеальных трансформаторов. Он открыл, что такие сети могут быть представлены конференс-матрицами, что и дало им имя[4]. Конференс-матрицы также применяются в статистике[5] и эллиптической геометрии[6].
Для n > 1 (n всегда чётно) существует два вида конференс-матриц. Если привести конференс-матрицу к нормальному виду, то она станет симметричной (если n делится на 4) или антисимметричной (если n чётно, но не делится на 4).
Для того чтобы получить нормальный вид конференс-матрицы C, нужно:
Полученная такими преобразованиями из конференс-матрицы матрица также является конференс-матрицей. Первые элементы каждой строки кроме первой у нормального вида конференс-матрицы равны 1 (у первой строки первый элемент 0).
Если C — симметрична конференс-матрица порядка n > 1, то n должно быть не только сравнимо с 2 (mod 4), но также n − 1 должно быть суммой квадратов двух целых чисел[7]. Посредством элементарной теории матриц можно доказать[6], n − 1 всегда будет суммой квадратов целых чисел, если n − 2 является степенью простого числа[8].
Для заданной симметричной конференс-матрицы C, подматрица S, полученая вычёркиванием из C первой строки и столбца, может рассматриваться как зейделева матрица смежности некоторого графа. Это граф с n − 1 вершиной, соответствующим строкам и столбцам матрицы S, две вершины являются смежными, если соответствующие элементы матрицы S отрицательны. Полученный граф является строго регулярным и относится к типу конференс-графов (названы так именно из-за конференс-матрицы).
Существование конференс-матриц порядка n, разрешаемое вышеуказнными ограничениями известно только для некоторых значений n. Например, если n = q + 1 где q является простой степенью сравнимой с 1 (mod 4), то графы Пэли дают примеры симметричных матриц порядка n: в качестве S берётся зейделева матрица смежности графа Пэли. Первые несколько возможных порядков симметричных конференс-матриц n = 2, 6, 10, 14, 18, (не 22, так как 21 не является суммой двух квадратов), 26, 30, (не 34, так как 33 не является суммой двух квадратов), 38, 42, 46, 50, 54, (не 58), 62 (последовательность A000952 в OEIS); для всех приведённых значений известно, что симметричные конференс-матрицы существуют. Для n = 66 вопрос остаётся открытым.
Существенно единственная конференс-матрица порядка 6 имеет вид:
все остальные конференс-матрицы порядка 6 получаются из данной сменой знака некоторых строк и/или столбцов (а также посредством перестановок строк и/или столбцов, если используется более общее определение).
Антисимметричные конференс-матрицы также могут быть получены методом Пэли. Пусть q — простая степень с остатком 3 (mod 4). Тогда существует граф Пэли порядка q, который приводит к антисимметричной конференс-матрице порядка n = q + 1. Данная матрица получается, если для S взять q×q-матрицу с +1 на (i, j)-й позиции и −1 на (j, i)-й, если существует ребро орграфа из i в j, и нулями на диагонали. Затем S строится из S как и в симметричном случае, но первая строка составляется из неположительных чисел. Полученная таким образом S будет антисимметричной конференс-матрицей.
Этот метод решает только небольшую часть проблемы определения, для каких n, делящихся на 4, существует антисимметричные конференс-матрицы порядка n.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.