Компланарность

Компланарность (лат. com — совместность, лат. planus — плоский, ровный) — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости^[1].

Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Свойства

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа ${\displaystyle \lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$такие, что ${\displaystyle {\vec {a}}=\lambda _{1}{\vec {b}}+\lambda _{2}{\vec {c}}}$ для компланарных ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ за исключением случаев ${\displaystyle {\vec {b}}={\vec {0}}}$ или ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {0}}}$.

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ образуют базис. То есть любой вектор ${\displaystyle {\vec {d}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ можно представить в виде: ${\displaystyle {\vec {d}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}+x_{3}{\vec {c}}}$. Тогда ${\displaystyle \;\{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$ будут координатами ${\displaystyle {\vec {d}}}$ в данном базисе.

Обобщения

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Примечания

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115