Ковариантная производная

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля ${\displaystyle T}$ в направлении касательного вектора ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ обычно обозначается ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }T}$.

Мотивация

c — ковариантная производная векторного поля а вдоль поля касательных векторов к кривой гамма

Понятие ковариантной производной позволяет определить дифференцирование тензорных полей по направлению касательного вектора какого-либо многообразия. Подобно производной по направлению, ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$ в качестве аргументов принимает: (1) вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$, определённый в некой точке ${\displaystyle P}$, и (2) векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} }$, определённое в окрестности ${\displaystyle P}$. Результатом является вектор ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)}$, также определённый в ${\displaystyle P}$. Основное отличие от производной по направлению заключается в том, что ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$ не должна зависеть от выбора системы координат.

Любой вектор может быть представлен как набор чисел, который зависит от выбора базиса. Вектор как геометрический объект не меняется при смене базиса, в то время как компоненты его координатного представления меняются согласно ковариантному преобразованию, зависящему от преобразования базиса. Ковариантная производная должна подчиняться этому же ковариантному преобразованию.

В случае евклидова пространства производная векторного поля зачастую определяется как предел разности двух векторов, определённых в двух близлежащих точках. В этом случае один из векторов можно переместить в начало другого вектора при помощи параллельного переноса и затем произвести вычитание. Таким образом, простейшим примером ковариантной производной является покомпонентное дифференцирование в ортонормированной системе координат.

В общем же случае необходимо учесть изменение базисных векторов при параллельном переносе. Пример: ковариантная производная, записанная в полярных координатах двухмерного евклидова пространства, содержит дополнительные слагаемые, которые описывают «вращение» самой системы координат при параллельном переносе. В других случаях формула ковариантной производной может включать в себя члены, соответствующие сжатию, растяжению, кручению, переплетению и прочим преобразованиям, которым подвержена произвольная криволинейная система координат.

В качестве примера рассмотрим кривую ${\displaystyle \gamma (t)}$, определённую на евклидовой плоскости. В полярных координатах кривая может быть выражена через полярные угол и радиус ${\displaystyle \gamma (t)=(r(t),\theta (t))}$. В произвольный момент времени ${\displaystyle t}$ радиус-вектор может быть представлен через пару ${\displaystyle ({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })}$, где ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r}}$ и ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta }}$ — единичные вектора, касательные к полярной системе координат, которые образуют базис, служащий для разложения вектора на радиальную и касательную компоненты. При изменении параметра ${\displaystyle t}$ возникает новый базис, который есть не что иное, как старый базис, подвергнутый вращению. Данное преобразование выражается как ковариантная производная базисных векторов, также известное как Символы Кристоффеля.

В криволинейном пространстве, каковым является, к примеру, поверхность Земли, не определён однозначный параллельный перенос. Вместо этого определена операция параллельного перенесения вектора из одной точки в другую, которая зависит от выбора траектории. Действительно, представим вектор ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$, определённый в точке ${\displaystyle Q}$ (которая лежит на экваторе), и направленный к северному полюсу. Используя параллельное перенесение, сперва переместим вектор вдоль экватора, не меняя его направления, затем поднимем ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$ вдоль какого-либо меридиана к северному полюсу, и опустим обратно к экватору вдоль другого меридиана. Очевидно, что такое перемещение вектора вдоль замкнутого пути на сфере изменит его ориентацию. Подобный феномен вызван кривизной поверхности глобуса и не наблюдается в евклидовом пространстве. Он возникает на многообразиях при перемещении вектора вдоль любого (даже бесконечно малого) замкнутого контура, включающего в себя движение вдоль как минимум двух различных направлений. В таком случае предел инфинитезимального приращения вектора является мерой кривизны многообразия.

Замечания

• Определение ковариантной производной не использует понятие метрики. При этом для любого выбора метрики пространства существует единственная свободная от кручения ковариантная производная, называемая связностью Леви-Чивиты. Она определяется из условия: ковариантная производная от метрического тензора равна нулю.

• Свойства производной подразумевают, что ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ зависит от произвольно малой окрестности точки ${\displaystyle P}$ так же, как, к примеру, производная скалярной функции вдоль кривой в данной точке ${\displaystyle P}$ зависит от бесконечно малой окрестности этой точки.

• Информация, содержащаяся в окрестности точки ${\displaystyle P}$, может быть использована для определения параллельного перенесения вектора. Так же понятия кривизны, кручения, и геодезических линий могут быть введены, используя только концепцию ковариантной производной и её обобщения, такие как линейная связность.

Формальное определение

Скалярные функции

Для скалярной функции ${\displaystyle f}$ ковариантная производная ${\displaystyle {\nabla }_{\mathbf {v} }f}$ совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Векторные поля

Ковариантной производной векторного поля ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ по направлению векторного поля ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ называется векторное поле, обозначаемое ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$, которое определяется следующими свойствами для любого вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$, векторных полей ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle \mathbf {w} }$ и скалярных функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$:

1. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ линейно по отношению к ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$, то есть ${\displaystyle \nabla _{f{\mathbf {v} }+g{\mathbf {w} }}{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+g\nabla _{\mathbf {w} }{\mathbf {u} }}$
2. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ аддитивно относительно ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$, то есть ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }({\mathbf {u} }+{\mathbf {w} })=\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {w} }}$
3. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ подчиняется правилу произведения, то есть ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f{\mathbf {u} }=f\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }+{\mathbf {u} }\nabla _{\mathbf {v} }f}$, где ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ определено выше.

Замечание

Заметим, что ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }}$ в точке ${\displaystyle p}$ зависит только от значения ${\displaystyle \mathbf {v} }$ в точке ${\displaystyle p}$ и от значений ${\displaystyle \mathbf {u} }$ в её окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле является тензором).

Ковекторные поля

Если задано поле ковекторов (то есть один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) ${\displaystyle \alpha }$, его ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\alpha }$ может быть определена с помощью следующего тождества, которое удовлетворяется для всех векторных полей ${\displaystyle \mathbf {u} }$:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\alpha ({\mathbf {u} }))=(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )({\mathbf {u} })+\alpha (\nabla _{\mathbf {v} }{\mathbf {u} }).}$

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — тоже ковекторное поле.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, её легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle {\psi }}$ — произвольные тензоры):

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _{\mathbf {v} }\psi ),}$

Если ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )=\nabla _{\mathbf {v} }\varphi +\nabla _{\mathbf {v} }\psi .}$

Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа ${\displaystyle (p,q)}$ задано своими компонентами ${\displaystyle {T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}(\mathbf {x} )}$ в некоторой локальной системе координат ${\displaystyle x^{k}}$, причём компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа ${\displaystyle (p,q+1)}$, который определяется по формуле:

${\displaystyle \nabla _{\ell }{T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}={\frac {\partial {T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}{\partial x^{\ell }}}+\sum _{k=1}^{p}{T^{i_{1}\ldots k\ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}\Gamma ^{i_{k}}{}_{\ell k}-\sum _{m=1}^{q}{T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}_{j_{1}\ldots m\ldots j_{q}}\Gamma ^{m}{}_{\ell j_{m}}}$

где ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$ — символы Кристоффеля, выражающие связность искривлённого многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля ${\displaystyle V^{m}\ }$ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

${\displaystyle \nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{k\ell }V^{k}.\ }$

Ковариантная производная скалярного поля ${\displaystyle \varphi \ }$ совпадает с частной производной,

${\displaystyle \nabla _{i}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\ }$

а ковариантная производная ковекторного поля ${\displaystyle \omega _{m}\ }$ —

${\displaystyle \nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{\ell }}}-\Gamma ^{k}{}_{\ell m}\omega _{k}.\ }$

Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi \ }$

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle A^{ik}\ }$ равна

${\displaystyle \nabla _{\ell }A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{m\ell }A^{mk}+\Gamma ^{k}{}_{m\ell }A^{im},\ }$

то есть

${\displaystyle A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }+A^{im}\Gamma ^{k}{}_{m\ell }.\ }$

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

${\displaystyle A^{i}{}_{k;\ell }=A^{i}{}_{k,\ell }+A^{m}{}_{k}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{k\ell },\ }$

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа ${\displaystyle (0,2)}$,

${\displaystyle A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-A_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.\ }$

См. также

• Тензор кривизны
• Связность Леви-Чивиты
• Символы Кристоффеля
• Оператор набла в различных системах координат

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.