Избыточное число

Избыточное число — положительное целое число ${\displaystyle n}$, сумма положительных собственных делителей (отличных от ${\displaystyle n}$) которого превышает ${\displaystyle n}$.

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.

Первые избыточные числа^[1]:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина ${\displaystyle I(N)=\sigma (N)/N}$, где ${\displaystyle \sigma (N)}$ — сумма делителей числа (для совершенных чисел ${\displaystyle I(N)=2}$).

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность ${\displaystyle \{a_{k}\}}$ минимальных чисел ${\displaystyle N}$, таких что ${\displaystyle I(N)>k}$^[2].

Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

Специальные классы избыточных чисел — сверхизбыточные числа^[англ.], слегка избыточные числа (их существование — открытая проблема).

Примечания

1. последовательность A005101 в OEIS
2. последовательность A134716 в OEIS

Литература

• D. Iannucci. On the smallest abundant number not divisible by the first k primes // Bulletin of the Belgian Mathematical Society^[англ.]. — 2005. — Т. 12, вып. 1. — С. 39–44. — doi:10.36045/bbms/1113318127.