Закон повторного логарифма

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году^[1][2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году^[3][4].

Теорема

Пусть ${\displaystyle {Y_{n}}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть ${\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.}$ Тогда почти наверное:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},}$

где ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм, ${\displaystyle \limsup }$ — верхний предел, ${\displaystyle \liminf }$ — нижний предел.

Обобщения и дополнения

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером^[5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен^[6]. Им же доказано^[7], что если ${\displaystyle Y_{n}}$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=\infty .}$

Взаимосвязь с другими предельными теоремами

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы ${\displaystyle S_{n}}$ с делителем ${\displaystyle n}$ стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0}$ почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty .}$

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы ${\displaystyle S_{n}}$ с делителем ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0}$ и ни к чему не стремится почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Таким образом, хотя величина ${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n}}}$ будет меньше, чем любое заданное ${\displaystyle \varepsilon >0}$ с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка ${\displaystyle [-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}]}$ почти наверное.

Примечания

1. Xинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9–20.
2. Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей» Архивная копия от 23 ноября 2012 на Wayback Machine, 1932.
3. Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126–135.
4. Повторного логарифма закон — статья из Математической энциклопедии.
5. W. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402.
6. V. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226.
7. V. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268.