Задача Брокара

Не следует путать с гипотезой Брокара.

Задача Брокара — математическая задача нахождения целых чисел m, для которых

${\displaystyle n!+1=m^{2},}$

где n! — факториал. Задача была поставлена Анри Брокаром в статьях 1876 и 1885 года и, независимо, в 1913 году Рамануджаном.

Нерешённые проблемы математики: Существуют ли отличные от 4, 5, 7 решения задачи Брокара?

Числа Брауна

Пары чисел (n, m), решающие задачу Брокара, носят название числа Брауна. Известны только три пары таких чисел:

(4, 5), (5, 11) и (7, 71)^[1].

Пал Эрдёш высказал предположение, что других решений не существует. Оверхольт^[2] показал, что существует лишь конечное число решений при условии, что abc-гипотеза верна. Берндт и Галвей^[3] выполнили вычисления для n вплоть до 10⁹ и не нашли других решений^[1].

Варианты задачи

Дабровский^[4] обобщил результат Оверхольта, показав, что из abc-гипотезы следует, что

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

имеет только конечное число решений для любого заданного числа A. Этот результат далее обобщил Лука^[5], показав (снова в предположении верности abc гипотезы), что равенство

${\displaystyle n!=P(x)}$

имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена P(x) по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.

Примечания

1. Стюарт, 2015, с. 404.
2. Overholt, 1993.
3. Berndt, Galway, 2000.
4. Dabrowski, 1996.
5. Luca, 2002.

См. также

• Окружность Брокара
• Точка Брокара
• Треугольник Брокара

Литература

• Bruce C. Berndt, William F. Galway. The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m² // The Ramanujan Journal. — 2000. — Т. 4. — С. 41—42. — doi:10.1023/A:1009873805276.
• H. Brocard. Question 166 // Nouv. Corres. Math. — 1876. — Т. 2. — С. 287.
• H. Brocard. Question 1532 // Nouv. Ann. Math. — 1885. — Т. 4. — С. 391.
• A. Dabrowski. On the Diophantine Equation x! + A = y² // Nieuw Arch. Wisk. — 1996. — Т. 14. — С. 321—324.
• R. K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory // 2nd. — New York: Springer-Verlag, 1994. — С. 193—194. — ISBN 0-387-90593-6.
• Florian Luca. The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt // Glasnik Matematički. — 2002. — Т. 37, вып. 57. — С. 269—273.
• Marius Overholt. The diophantine equation n! + 1 = m² // Bull. London Math. Soc. — 1993. — Т. 25, вып. 2. — С. 104. — doi:10.1112/blms/25.2.104.
• Стюарт Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Brocard's Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Brown Numbers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Copeland, Ed. Brown Numbers  (неопр.). Numberphile. Brady Haran. Дата обращения: 9 ноября 2014. Архивировано из оригинала 9 ноября 2014 года.