Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Обзорные статьи: Дробно-линейное преобразование, Дробно-линейная функция, Рациональная функция, Аналлагматическая геометрия и Преобразование Мёбиуса

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости (англ. linear fractional transformation of the complex plane), — это отображение комплексной плоскости на себя^[1][2][3][4]:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований^{[5][6][7][8][9]}.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование^[10];
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной^[11];
• рациональная функция первого порядка^[12];
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса^[13].

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного^[12][4].

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом^[4][14].

Определение дробно-линейного преобразования

Формальное определение

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя^{[1][2][3][12]}:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, или коэффициенты, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$ представляет дробь, числитель и знаменатель которой

${\displaystyle az+b}$ и ${\displaystyle cz+d}$

суть целые линейные функции^[15]:

При ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробь из ${\displaystyle L(z)}$ становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть ${\displaystyle L(z)}$ перестаёт быть дробно-линейным преобразованием^[15].

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ становится следующей целой линейной функцией^[16][15][17]:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$.

Доопределение на расширенной комплексной плоскости

Компактифицируем комплексную плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Для этого добавим к множеству конечных точек ${\displaystyle z\neq \infty }$ этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку ${\displaystyle z=\infty }$ — некоторый абстрактный идеальный элемент^[18].

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой ${\displaystyle \infty }$, комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. В связи с этим исходная комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ иногда называется конечной, или открытой, плоскостью^[19].

Дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, кроме следующих^[20]:

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ — кроме точек ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$;
• при ${\displaystyle c=0}$ — кроме точки ${\displaystyle z=\infty }$.

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости^[20]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Легко получить, что^[21][20][22]:

• при ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ ввиду

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left({\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}\right)=\infty }$

доопределяем с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )=\infty }$;

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ два выражения

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle \lim _{z\to -{\frac {d}{c}}}{\frac {az+b}{cz+d}}=\infty }$

говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$.

Синонимы дробно-линейного преобразования

В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:

• как противопоставление целому линейному преобразованию:

• лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[3][23][4];
• о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[24];
• билине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[4];
• лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^[23];
• о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^[24];

• как проективное преобразование:

• гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскости^[3][4];

• отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции;

• дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости^{[1][25][26][27]};

• преобразование осуществляется с помощью его функции:

• дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^{[11][28][16][26]};
• рациона́льная фу́нкция первого порядка^[29][12];

• преобразование, сохраняющее окружности:

• то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости^[30];
• преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости^[31][4];
• отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости^[27];

• в теории относительности:

• спи́новое преобразова́ние^[14].

Простейшие свойства дробно-линейного преобразования

Детерминант дробно-линейного преобразования

Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$, —

это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования^[12][3]:

${\displaystyle ad-bc}$.

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной ${\displaystyle z}$ при условии ${\displaystyle c\neq 0}$^[32][2]:

${\displaystyle w=L(z)={\frac {{\frac {a}{c}}z+{\frac {b}{c}}}{z+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(z+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{z+{\frac {d}{c}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}}$, ${\displaystyle c\neq 0}$.

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$, то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$^{[12][32][2][26]}.

Не умаляя общности, можно разделить постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ обычной записи дробно-линейного преобразования либо на ${\displaystyle {\sqrt {ad-bc}}}$, либо на ${\displaystyle -{\sqrt {ad-bc}}}$ — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице^[33]:

${\displaystyle ad-bc=1}$.

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице^[6]:

${\displaystyle ad-bc=1}$.

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой^[34].

Биективность, гомеоморфность и конформность

1. Биективность. Дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

определена однозначно на всей расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[20].

Выразим ${\displaystyle z}$ через ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle c\neq 0}$, случай ${\displaystyle c=0}$ достаточно очевиден):

${\displaystyle z={\frac {dw-b}{-cw+a}}={\frac {-dw+b}{cw-a}}}$,

получаем, что любому ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle w\neq {\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w\neq \infty }$, отвечает одно определённое ${\displaystyle z}$, а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам ${\displaystyle w={\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w=\infty }$ отвечают точки ${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно^[20][35].

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$. Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[25].

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования^[20][35][36]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L^{\prime }(z)={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}={\frac {ad-bc}{(cz+d)^{2}}}}$.

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z\neq \infty }$. Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ — простой полюс, а точка ${\displaystyle z=\infty }$ — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ отличны от нуля: ${\displaystyle {\frac {bc-ad}{c^{2}}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {ad-bc}{c^{2}}}\neq 0}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[35].

Равенство представлений дробно-линейных преобразований

Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

называются равными, если они имеют одинаковые значения, то есть ${\displaystyle L_{1}(z)=L_{2}(z)}$ при всех значениях комплексной переменной ${\displaystyle z}$^[12].

Имеет место следующее утверждение^[12]:

• две формы дробно-линейных преобразования

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть

${\displaystyle a_{2}=\lambda a_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}=\lambda b_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}=\lambda d_{1}}$, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Доказательство^[12]

Достаточность. Пусть

${\displaystyle a_{2}=\lambda a_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}=\lambda b_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}=\lambda d_{1}}$, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Тогда

${\displaystyle {\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}={\frac {\lambda a_{1}z+\lambda b_{1}}{\lambda c_{1}z+\lambda d_{1}}}={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}.}$

Необходимость. Пусть ${\displaystyle L_{1}(z)=L_{2}(z)}$. Тогда:

• ${\displaystyle L_{1}(0)=L_{2}(0)}$, ${\displaystyle {\frac {b_{1}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{d_{2}}}=p}$, ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{b_{1}}}}$;
• ${\displaystyle L_{1}(\infty )=L_{2}(\infty )}$, ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{c_{1}}}={\frac {a_{2}}{c_{2}}}=q}$, ${\displaystyle {\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}}$;
• ${\displaystyle L_{1}(1)=L_{2}(1)}$, ${\displaystyle {\frac {a_{1}+b_{1}}{c_{1}+d_{1}}}={\frac {a_{2}+b_{2}}{c_{2}+d_{2}}}}$.

Подставим в последнее равенство выражения

${\displaystyle b_{1}=d_{1}p}$, ${\displaystyle b_{2}=d_{2}p}$, ${\displaystyle a_{1}=c_{1}q}$, ${\displaystyle a_{2}=c_{2}q}$,

получим:

${\displaystyle {\frac {c_{1}q+d_{1}p}{c_{1}+d_{1}}}={\frac {c_{2}q+d_{2}p}{c_{2}+d_{2}}}}$,

${\displaystyle (c_{1}q+d_{1}p)(c_{2}+d_{2})=(c_{2}q+d_{2}p)(c_{1}+d_{1})}$,

${\displaystyle c_{2}d_{1}p+c_{1}d_{2}q-c_{1}d_{2}p-c_{2}d_{1}q=0}$,

${\displaystyle (c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})(q-p)=0}$.

Если ${\displaystyle q=p}$, то ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{c_{1}}}={\frac {b_{1}}{d_{1}}}}$, имеем противоречие — детерминант равен нулю: ${\displaystyle a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}=0}$. Следовательно, ${\displaystyle q\neq p}$, и тогда необходимо

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}}$.

Собирая всё вместе, получаем:

${\displaystyle {\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {b_{2}}{b_{1}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {d_{2}}{d_{1}}}=\lambda }$.

Последнее утверждение имеет следующее следствие^[37]:

• значение детерминанта ${\displaystyle ad-bc}$ дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L(z)}$ не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ заменить на постоянные ${\displaystyle \lambda a}$, ${\displaystyle \lambda b}$, ${\displaystyle \lambda c}$ и ${\displaystyle \lambda d}$ при ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, то детерминант увеличится в ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта^[37].

Таким образом, дробно-линейное преобразование

${\displaystyle L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров^[38].

Неподвижные точки

В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

его образ ${\displaystyle w}$, как правило, отличен от исходной точки ${\displaystyle z}$ комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования ${\displaystyle L(z)}$^[39].

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению^[40][41]:

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle z(cz+d)=az+b}$,

${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$.

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ${\displaystyle z=z}$). В случае, когда при ${\displaystyle c=0}$ второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» ${\displaystyle \infty }$. В частности^{[40][41][6][42][43]}:

• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle b=0}$, поскольку ${\displaystyle 0=L(0)={\frac {b}{d}}}$;
• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=\infty }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c=0}$, поскольку ${\displaystyle \infty =L(\infty )={\frac {a\infty +b}{c\infty +d}}}$.

Неподвижные точки целого линейного преобразования

Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:

• целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку^[44].

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ — целая линейная, если её постоянные ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$^[39]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$.

В любом случае, поскольку всегда ${\displaystyle l(\infty )=\infty }$, у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[39].

1. Случай ${\displaystyle a\neq d}$. Точка

${\displaystyle \xi _{2}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$ —

конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования

${\displaystyle w={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$,

задаваемая этим уравнением^[39].

2. Случай ${\displaystyle a=d}$. Если ${\displaystyle {\frac {a}{d}}=1}$ и ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$, то у целого линейного преобразования

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}}$

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\neq 1}$, ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\to 1}$ конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$

стремится к бесконечно удалённой^[39].

Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная ${\displaystyle c\neq 0}$. У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:

${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$,

так как

${\displaystyle L(\infty )={\frac {a}{c}}\neq \infty }$ и ${\displaystyle L(-{\frac {d}{c}})=\infty \neq -{\frac {d}{c}}}$

соответственно^[42].

Теперь, решая в общем случае уравнение

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$, то есть ${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$,

при

${\displaystyle z\neq \infty }$ и ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$,

получим^[44]:

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем^[45]:

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{2c}}}$.

Имеем два случая.

• Дискриминант не равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$,

в унимодулярном случае^[45]:

${\displaystyle (a+d)^{2}-4\neq 0}$.

Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки^[44].

• Дискриминант равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$,

в унимодулярном случае^[45]:

${\displaystyle (a+d)^{2}-4=0}$, то есть ${\displaystyle a+d=\pm 2}$.

Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$,

которая равна нулю тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=d}$, ${\displaystyle c\neq 0}$^[44].

Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам

Только тождественное дробно-линейное преобразование ${\displaystyle U(z)=z}$ имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение^[44]:

• два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Доказательство^[46]

Пусть значения двух дробно-линейных преобразований ${\displaystyle L(z)}$ и ${\displaystyle \Lambda (z)}$ совпадают в трёх различных точках ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$:

${\displaystyle L(z_{k})=\Lambda (z_{k})=w_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,3}$.

Тогда для обратного преобразования

${\displaystyle \Lambda ^{-1}(w_{k})=z_{k}}$,

и для последовательного выполнения преобразований ${\displaystyle w=L(z)}$ и ${\displaystyle z=\Lambda ^{-1}(w)}$ получаем:

${\displaystyle \Lambda ^{-1}L(z_{k})=z_{k}}$,

Преобразование ${\displaystyle \Lambda ^{-1}L(z_{k})}$ получилось тождественное, поскольку у него три различные неподвижные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$:

${\displaystyle \Lambda ^{-1}L=U}$.

Отсюда, с одной стороны,

${\displaystyle \Lambda (\Lambda ^{-1}L)=\Lambda U=\Lambda }$,

а с другой стороны, в силу ассоциативности последовательного выполнения преобразований, то же самое выражение

${\displaystyle \Lambda (\Lambda ^{-1}L)=(\Lambda \Lambda ^{-1})L=UL=L}$.

В итоге заключаем, что два дробно-линейных преобразования ${\displaystyle L(z)}$ и ${\displaystyle \Lambda (z)}$ равны:

${\displaystyle \Lambda =L}$.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ вместе с их образами ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$, причём такое преобразование единственное^[47].

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров^[48].

Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам

Построение преобразования по трём конкретным точкам

Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$, на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения^[47]:

${\displaystyle 0=\Lambda (z_{1})}$, ${\displaystyle \infty =\Lambda (z_{2})}$, ${\displaystyle 1=\Lambda (z_{3})}$.

Имеет место следующее утверждение^[47]:

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$, отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в конкретные точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$ соответственно, задаётся следующей функцией^[47]:

${\displaystyle \Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Доказательство^[47]

Функция

${\displaystyle w=\Lambda (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

дробно-линейного преобразования:

• равна ${\displaystyle 0}$ при ${\displaystyle z=z_{1}}$ тогда и только тогда, когда числитель дроби функции равен ${\displaystyle a(z-z_{1})}$;
• равна ${\displaystyle \infty }$ при ${\displaystyle z=z_{2}}$ тогда и только тогда, когда знаменатель дроби функции равен ${\displaystyle c(z-z_{2})}$,

поэтому функция имеет следующий вид:

${\displaystyle w={\frac {a}{c}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}}$.

Далее, ${\displaystyle 1=\Lambda (z_{3})}$, то есть

${\displaystyle 1={\frac {a}{c}}{\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}}$,

откуда получаем функцию

${\displaystyle w=\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Построение преобразования по любым трём точкам

1. Сначала построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$, на которых преобразование имеет следующие конечные значения^[47]:

${\displaystyle w_{1}=L(z_{1})}$, ${\displaystyle w_{2}=L(z_{2})}$, ${\displaystyle w_{3}=L(z_{3})}$.

Имеет место следующее утверждение^[47]:

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в произвольные конечные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ соответственно, задаётся следующей неявной функцией^[49]:

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Доказательства 1^[50] и 2^[51]

Доказательство 1. Согласно доказанному выше, функция

${\displaystyle \Lambda _{1}(w)={\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}}$

отображает произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ в конкретные точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$. Следовательно, последовательное выполнение функций ${\displaystyle \Lambda _{1}L(z)}$ отобразит комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \Lambda _{1}L(z)=\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Произведя замену ${\displaystyle w=L(z)}$, получаем:

${\displaystyle \Lambda _{1}(w)=\Lambda (z)}$,

то есть

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Доказательство 2. Рассмотрим дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Оно переводит произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в произвольные конечные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ соответственно, поскольку:

• обе его части равны нулю при ${\displaystyle z=z_{1}}$ и ${\displaystyle w=w_{1}}$;
• обе его части равны бесконечности при ${\displaystyle z=z_{2}}$ и ${\displaystyle w=w_{2}}$;
• обе его части равны единице при ${\displaystyle z=z_{3}}$ и ${\displaystyle w=w_{3}}$.

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$, ${\displaystyle k,l=1,2,3}$, конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:

• в случае, если какая-то ${\displaystyle z_{k_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для z) или какая-то ${\displaystyle w_{l_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для w) или они обе вместе ${\displaystyle z_{k_{0}}=w_{l_{0}}=\infty }$, то тогда в уравнении

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$

разности с бесконечными ${\displaystyle z_{k_{0}}}$ и ${\displaystyle w_{l_{0}}}$ заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются^[52].

Поскольку каждая из шести точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$ входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком^[53], то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка ${\displaystyle z_{1}=\infty }$, то тогда, временно считая ${\displaystyle z_{1}}$ конечной, заменим ${\displaystyle z-z_{1}}$ на

${\displaystyle {\frac {z}{z_{1}}}-1}$

и затем осуществим переход к пределу при ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$^[52].

Двойное отношение четырёх точек

Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

где ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа^{[52][54][55][56][57]}.

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через ${\displaystyle \lambda }$, то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин^[57]:

${\displaystyle \lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}}$.

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности^[58][54][55].

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек^[59]:

${\displaystyle (\infty ,z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{2}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},\infty ,z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},\infty ,z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},\infty )={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}}$.

Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения^[59][54][55]:

• двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

Доказательства 1^[59] и 2^[54][55]

Доказательство проведём двумя разными способами. Пусть:

• ${\displaystyle w=L(z)}$ — произвольное дробно-линейное преобразование;
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ — четыре произвольные различные точки комплексной плоскости;
• ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$ — образы соответственно точек ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ при преобразовании ${\displaystyle w=L(z)}$.

Доказательство 1. Построим дробно-линейное преобразование по трём точкам: три из четырёх точек ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{4}}$ отображаются преобразованием ${\displaystyle w=L(z)}$ в три точки ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{4}}$ соответственно, то есть

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Поскольку ${\displaystyle w_{3}=L(z_{3})}$, то при ${\displaystyle z=z_{3}}$ получаем:

${\displaystyle {\frac {w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Отсюда сразу по определению следует, что

${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3},w_{4})=(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})}$.

Доказательство 2. Найдём формулу для разности образов точек дробно-линейного преобразования ${\displaystyle w_{3}-w_{1}}$, формулы остальных разностей вычисляются аналогично:

${\displaystyle w_{3}-w_{1}={\frac {az_{3}+b}{cz_{3}+d}}-{\frac {az_{1}+b}{cz_{1}+d}}=}$.

${\displaystyle ={\frac {ad-bc}{(cz_{3}+d)(cz_{1}+d)}}(z_{3}-z_{1})}$.

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Нормальная форма дробно-линейного преобразования

Общий случай двух различных конечных неподвижных точек

Итак, если не учитывать тождественное преобразование ${\displaystyle z=z}$, то дробно-линейного преобразования разделены на два класса^[60]:

• имеющие две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$;
• имеющие одну неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$.

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение^{[61][60][62][10]}:

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

в общем случае имеющее при условиях ${\displaystyle c\neq 0}$ и ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$ две различные конечные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$,

можно представить в неявной форме как

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$, где ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}\neq 0;1}$.

Доказательства 1^[61][62] и 2^[60]

По условию, дробно-линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$:

• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$ в точку ${\displaystyle \xi _{1}}$;
• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{2}}$ в точку ${\displaystyle \xi _{2}}$.

Чтобы полностью определить преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, выберем третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:

• переводит бесконечную точку ${\displaystyle \infty }$ в точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$.

Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

1. Пусть

${\displaystyle v=S(w)={\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}}$, ${\displaystyle y=S(z)={\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ —

два дробно-линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, две неподвижные точки ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{2})=S(\xi _{2})=\infty }$,

то оно обязательно имеет вид

${\displaystyle v=Ky}$,

где ${\displaystyle K}$ — некоторая комплексная постоянная,

${\displaystyle Ky=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}KyS}$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$.

Это преобразование имеет две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$. Так как оно переводит третью точку ${\displaystyle \infty }$ в точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$:

${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}{{\frac {a}{c}}-\xi _{2}}}=K}$, то есть ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}}$,

то эта неявная форма будет представлять дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$. Причём ${\displaystyle K\neq 1}$, поскольку ${\displaystyle \xi _{1}\neq \xi _{2}}$, и ${\displaystyle K\neq 0}$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную.

2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{2}}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {z-\xi _{2}}{z-\xi _{1}}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}}$, ${\displaystyle K\neq 0;1}$ — постоянная.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle z_{3}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {a}{c}}}$;
• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{3}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {a}{c}}}$.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}{\frac {{\frac {a}{c}}-\xi _{2}}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}={\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$,

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$, где ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}}$, ${\displaystyle K\neq 0;1}$.

При втором:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{2}}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {z-\xi _{2}}{z-\xi _{1}}}}$, где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}}$, ${\displaystyle K\neq 0;1}$.

Следует иметь в виду, что вид формул для ${\displaystyle K}$ зависит не только от порядка неподвижных точек, но еще и от выбранной третьей точки преобразования.

Определение нормальной формы и множителя

Неявная форма

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K_{1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$

называется нормальной формой, или каноническим видом, дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная ${\displaystyle K}$ называется множителем дробно-линейного преобразования^{[40][60][62][34]}.

Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$

обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$:

любую степень дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L^{n}}$ в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$. Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, например^[63]:

${\displaystyle L^{2}:(v=Ky)^{2}}$,

${\displaystyle L^{2}:v=K(Ky)=K^{2}y}$,

${\displaystyle L^{2}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{2}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$.

Аналогично^[63]

${\displaystyle L^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$;

${\displaystyle L^{-1}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$.

Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой вид^[64]:

• случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:w-\xi _{1}=K^{n}(z-\xi _{1})}$;;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:w-\xi _{1}=K^{-n}(z-\xi _{1})}$;;

• случай совпадающих конечных неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+nh}$;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}-nh}$;

• случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:w=z+nh}$;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:w=z-nh}$.

Выражения множителя через постоянные преобразования

Имеет место следующее утверждение:

• множитель ${\displaystyle K}$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:

• через симметричную функцию ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$, также не зависящую от порядка этих неподвижных точек^[60]:

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2}$,

в унимодулярном случае:

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2}$,

или

${\displaystyle {\sqrt {K}}+{\frac {1}{\sqrt {K}}}=a+d}$;

• непосредственно^[65]:

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}}$,

в унимодулярном случае^[60]:

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}}}$.

В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель ${\displaystyle K}$ зависят только от суммы двух постоянных преобразования ${\displaystyle a+d}$^[66].

Доказательства 1^[60] и 2^[65]

Доказательство 1. Выразить множитель ${\displaystyle K}$ через постоянные дробно-линейного преобразования

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

удобнее с помощью симметричной функции ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}+{\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2a^{2}-2ac(\xi _{1}+\xi _{2})+c^{2}(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2})}{a^{2}-ac(\xi _{1}+\xi _{2})+c^{2}\xi _{1}\xi _{2}}}}$.

Вспоминая формулы Виета и то, что уравнение

${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$

имеет корни ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$, получаем:

${\displaystyle \xi _{1}+\xi _{2}={\frac {a-d}{c}}}$, ${\displaystyle \xi _{1}\xi _{2}=-{\frac {b}{c}}}$,

откуда

${\displaystyle \xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}={\frac {(a-d)^{2}+2bc}{c^{2}}}}$,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a^{2}+d^{2}+2bc}{ad-bc}}=}$

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2(ad-bc)}{ad-bc}}=}$

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2}$.

Доказательство 2. Подставляя в выражение для ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}}$,

значения

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}}$,

${\displaystyle \xi _{2}={\frac {a-d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}}$,

получаем:

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}}$.

Классификация дробно-линейных преобразований

Две различные неподвижные точки, одна бесконечная

Имеет место следующее утверждение^[60]:

• целое линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{d}}}$,

имеющее при условиях ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a\neq d}$ и унимодулярной нормировке ${\displaystyle ad=1}$ две различные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {b}{d-a}}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$,

где ${\displaystyle K={\frac {a}{d}}\neq 1}$ — постоянная, причём также ${\displaystyle K\neq 0}$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=}$.

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2}$,

в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2}$.

Доказательства 1^[61][62] и 2^[67]

По условию, целое линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$:

• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$ в точку ${\displaystyle \xi _{1}}$;
• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$ в точку ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$.

Чтобы полностью определить преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, выберем общую третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:

• переводит произвольную точку ${\displaystyle z_{0}}$ в точку ${\displaystyle {\frac {az_{0}+b}{d}}}$.

Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

1. Пусть

${\displaystyle v=S(w)=w-\xi _{1}}$, ${\displaystyle y=S(z)=z-\xi _{1}}$ —

два целых линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего целого линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, две неподвижные точки ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{2})=S(\xi _{2})=\infty }$,

то оно обязательно имеет вид ${\displaystyle v=Ky}$, где ${\displaystyle K}$ — некоторая комплексная постоянная,

${\displaystyle Ky=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}KyS}$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого целого линейного преобразования:

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$.

Это преобразование имеет две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \infty }$. Так как оно переводит третью произвольную точку ${\displaystyle z_{0}}$ в точку ${\displaystyle {\frac {az_{0}+b}{d}}}$:

${\displaystyle {\frac {az_{0}+b}{d}}-\xi _{1}=K(z_{0}-\xi _{1})}$, то есть ${\displaystyle K={\frac {az_{0}+b-d\xi _{1}}{d(z_{0}-\xi _{1})}}}$,

то тогда эта неявная форма будет представлять целое линейное преобразование ${\displaystyle L.}$

2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {1}{z-\xi _{1}}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {d(z_{0}-\xi _{1})}{az_{0}+b-d\xi _{1}}}}$ — постоянная.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{2}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{2}\to \infty }$, ${\displaystyle z_{3}=z_{0}}$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {az_{0}+b}{d}}}$;
• ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{1}\to \infty }$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{3}=z_{0}}$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {az_{0}+b}{d}}}$.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{{\frac {az_{0}+b}{d}}-\xi _{1}}}={\frac {z-\xi _{1}}{z_{0}-\xi _{1}}}}$,

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$, где ${\displaystyle K={\frac {az_{0}+b-d\xi _{1}}{d(z_{0}-\xi _{1})}}}$.

При втором:

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {1}{z-\xi _{1}}}}$, где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {d(z_{0}-\xi _{1})}{az_{0}+b-d\xi _{1}}}}$.

Здесь вид формулы для ${\displaystyle K}$ зависит только от порядка неподвижных точек, так как третья точка выбрана общей.

Множитель ${\displaystyle K}$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, просто выражаются через постоянные целого линейного преобразования. Подставляя в выражение для ${\displaystyle K}$ значение ${\displaystyle \xi _{1}={\frac {b}{d-a}}}$, получаем:

${\displaystyle K={\frac {az_{0}+b-d{\frac {b}{d-a}}}{d(z_{0}-{\frac {b}{d-a}})}}={\frac {az_{0}d+bd-a^{2}z_{0}-ab-bd}{d(z_{0}d-az_{0}-b)}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a(z_{0}d-az_{0}-b)}{d(z_{0}d-az_{0}-b)}}={\frac {a}{d}}}$.

Аналогично

${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {d}{a}}}$.

Очевидно, что

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=}$.

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2}$.

Совпадающие неподвижные точки

Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать ${\displaystyle \xi _{1}}$. В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождество^[68].

Имеет место следующее утверждение^{[69][70][71][34]}:

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

имеющее при условиях ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$, в случае унимодулярности ${\displaystyle a+d=\pm 2}$, и ${\displaystyle c\neq 0}$ двойную конечную неподвижную точку

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$,

где ${\displaystyle h={\frac {2c}{a+d}}\neq 0}$ — постоянная, в случае унимодулярности ${\displaystyle h=\pm c}$, причём при ${\displaystyle a+d=2}$ постоянная ${\displaystyle h=c}$, а при ${\displaystyle a+d=-2}$ постоянная ${\displaystyle h=-c}$.

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a=d}$, в случае унимодулярности ${\displaystyle a=d=\pm 1}$, имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием ${\displaystyle L}$ в обычном виде:

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}=w=z+h}$,

в случае унимодулярности

${\displaystyle w=z\pm b}$.

Доказательства 1^[72][73] и 2^[70]

Случай ${\displaystyle c\neq 0}$. Чтобы полностью определить преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, выберем три точки ${\displaystyle z}$ и три их образа ${\displaystyle w}$:

• неподвижная точка ${\displaystyle \xi _{1}}$ переводится в точку ${\displaystyle \xi _{1}}$;
• точка ${\displaystyle \infty }$ переводится в точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$;
• точка ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$ переводится в точку ${\displaystyle \infty }$.

Доказательство 1. Так как можно сделать так, чтобы дробно-линейное преобразование ${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$ имело единственную неподвижную точку бесконечность или нуль, то рассмотрим оба случая.

1. Пусть

${\displaystyle v=S(w)={\frac {1}{w-\xi _{1}}}}$, ${\displaystyle y=S(z)={\frac {1}{z-\xi _{1}}}}$ —

два дробно-линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, только одна неподвижная точка ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\infty )=S\left({\frac {a}{c}}\right)={\frac {1}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=\infty }$,

то оно обязательно имеет вид ${\displaystyle v=y+h}$, где ${\displaystyle h}$ — некоторая комплексная постоянная, ${\displaystyle h\neq 0}$, поскольку тождественное преобразование не рассматривается,

${\displaystyle y+h=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}(y+h)S}$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$.

Это преобразование переводит одну неподвижную точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ саму в себя, а также точку ${\displaystyle \infty }$ в ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ и точку ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$ ${\displaystyle \infty }$. Подставляя последние две точки по-очереди в неявную форму, получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}=h}$, то есть ${\displaystyle h={\frac {c}{a-c\xi _{1}}}={\frac {c}{a-c{\frac {a-d}{2c}}}}={\frac {2c}{a+d}}}$,

${\displaystyle 0={\frac {1}{-{\frac {d}{c}}-\xi _{1}}}+h}$, то есть ${\displaystyle h={\frac {c}{d-c\xi _{1}}}={\frac {c}{d-c{\frac {a-d}{2c}}}}={\frac {2c}{a+d}}}$,

и неявная форма

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+{\frac {2c}{a+d}}}$

представляет дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$.

2. Пусть

${\displaystyle v=S(w)=w-\xi _{1}}$, ${\displaystyle y=S(z)=z-\xi _{1}}$ —

два целых линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, только одна неподвижная точка ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\infty )=S\left({\frac {a}{c}}\right)={\frac {a}{c}}-\xi _{1}}$,

то оно обязательно имеет вид

${\displaystyle v={\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}}$,

где ${\displaystyle h_{1}}$ и ${\displaystyle h_{2}}$ — некоторые комплексные постоянные,

${\displaystyle {\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}\left({\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}\right)S}$.

Преобразуем эту дробно-линейную функцию:

${\displaystyle v={\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{v}}={\frac {h_{2}y+h_{1}}{h_{1}y}}}$,

${\displaystyle {\frac {1}{v}}={\frac {1}{y}}+{\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{v}}={\frac {1}{y}}+h}$,

где ${\displaystyle h={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$ — некоторая комплексная постоянная.

Получаем, что второй случай сведён к первому.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{1}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{3}=-{\frac {d}{c}}}$, ${\displaystyle w_{3}\to \infty }$;
• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{2}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{2}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle z_{3}=-{\frac {d}{c}}}$, ${\displaystyle w_{3}\to \infty }$.

При первом способе получаем следующую неявную нормальную форму преобразования ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {w-{\frac {a}{c}}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {{\frac {d}{c}}+\xi _{1}}{z-\xi _{1}}}}$.

Вычтем из левой и правой частей этого уравнения единицу:

${\displaystyle {\frac {\xi _{1}-{\frac {a}{c}}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {\xi _{1}+{\frac {d}{c}}}{z-\xi _{1}}}-1}$.

Принимая во внимание, что

${\displaystyle \xi _{1}-{\frac {a}{c}}={\frac {a-d}{2c}}-{\frac {a}{c}}=-{\frac {a+d}{2c}}}$,

${\displaystyle \xi _{1}+{\frac {d}{c}}={\frac {a-d}{2c}}+{\frac {d}{c}}={\frac {a+d}{2c}}}$,

получаем неявную нормальную форму

${\displaystyle -{\frac {\frac {a+d}{2c}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {\frac {a+d}{2c}}{z-\xi _{1}}}-1}$,

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+{\frac {2c}{a+d}}}$.

При втором способе получаем то же самое, что и при первом.

Случай ${\displaystyle c=0}$. Когда ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a=d}$, возникают совпадающие бесконечно удалённые неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$, при этом нормальная форма

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}}$

совпадает с самим преобразованием ${\displaystyle L}$ в исходном виде.

Четыре типа дробно-линейных преобразований

Классификация дробно-линейных преобразований строится^[60]:

• на количестве неподвижных точек;
• на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.

Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём показательную, или тригонометрическую, форму^[74] комплексного числа. Пусть

${\displaystyle K=re^{i\varphi }}$,

где вещественное число ${\displaystyle r=|K|\geqslant 0}$ — модуль, или абсолютная величина комплексного числа ${\displaystyle K}$, а вещественное число ${\displaystyle -\pi <\varphi =\arg K\leqslant \pi }$ — главное значение аргумента комплексного числа ${\displaystyle K}$^{[75][63][76][77][78][79]}.

Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразований^[80]:

• случай различных неподвижных точек:

• ${\displaystyle K=r}$, ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle r\neq 1}$, — гиперболическое дробно-линейное преобразование, подобное преобразование с центром в начале координат;
• ${\displaystyle K=e^{i\varphi }}$, ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$, — эллиптическое дробно-линейное преобразование, вращение около начала координат;
• ${\displaystyle K=re^{i\varphi }}$, ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle r\neq 1}$, ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$, — локсодромическое дробно-линейное преобразование, композиция гиперболического и эллиптического преобразований;

• случай одной неподвижной точки:

• ${\displaystyle K=1}$ — параболическое дробно-линейное преобразование, это перенос.

Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точках^[10]:

• семейство всех окружностей ${\displaystyle \Sigma }$, проходящих через обе неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$^[81];
• семейство всех окружностей ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$, ортогональных к окружностям первого семейства ${\displaystyle \Sigma }$^[82].

При единственной неподвижной точке окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке ${\displaystyle \xi _{1}}$ общую касательную, а семейство окружностей ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ исчезает^[34][83].

Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразований^[34][80].

Четыре типа дробно-линейных преобразований

	Гиперболическое	Эллиптическое	Локсодромическое	Параболическое
Нормальная форма общего случая ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$
Бесконечной неподвижной точки нет[34]	${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$			${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$
Бесконечная неподвижная точка есть[34]	${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$			${\displaystyle w=z+h}$
Ограничения на ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle h}$[34]	${\displaystyle K\neq 1,}$ ${\displaystyle K>0}$	${\displaystyle K\neq 1,}$ ${\displaystyle |K|=1}$	${\displaystyle |K|\neq 1,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} K\neq 0}$ или ${\displaystyle K<0}$	${\displaystyle h\neq 0}$
Показательная форма ${\displaystyle K}$[80]	${\displaystyle K=r,}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r\neq 1}$	${\displaystyle K=e^{i\varphi },}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$	${\displaystyle K=re^{i\varphi },}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r\neq 1,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$	${\displaystyle K=1}$
Унимодулярный случай ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}},}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$
Сумма постоянных ${\displaystyle a+d}$[34][80]	${\displaystyle a+d}$ вещественное и ${\displaystyle |a+d|>2}$	${\displaystyle a+d}$ вещественное и ${\displaystyle |a+d|<2}$	${\displaystyle a+d}$ комплексное невещественное	${\displaystyle a+d=\pm 2}$
Геометрические свойства
Неподвижные круги[34][80]	Окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ и их внутренности отображаются сами в себя	Окружности семейства ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются сами в себя	Нет неподвижных кругов	Отображаются сами в себя окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ и их внутренности
Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижны[80]	Окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются в окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов	Окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются в окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов
Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовне[80]	Нет таких неподвижных окружностей	При ${\displaystyle \phi =\pi }$ окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	При ${\displaystyle \phi =\pi }$ окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	Нет таких неподвижных окружностей
Геометрическое преобразование комплексной плоскости[80]	Подобие	Поворот	Комбинация подобия и поворота	Параллельный перенос

При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёх^[84]:

• гиперболического,
• эллиптического,
• параболического.

Причём, если ${\displaystyle \infty }$ не является неподвижной точкой, то есть ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через ${\displaystyle \infty }$, то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через ${\displaystyle \infty }$. Эта прямая проходит также через две конечные точки^[84]:

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$.

Примечания

1. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 384—385.
2. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 85.
3. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 9.
4. Tristan Needham. Visual Complex Analysis, 2000, 3 Mobius Transformations and Inversion, p. 122.
5. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 49.
6. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 385.
7. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 86.
8. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 119.
9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 129.
10. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 385—386.
11. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция, 1979.
12. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 126.
13. Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986, 1.1, с. 8.
14. Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля, 1987, 1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов, с. 32.
15. Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного, 1952, с. 56.
16. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 44.
17. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 93, 132.
18. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 12.
19. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 1. Комплексная плоскость, ч. I, с. 12.
20. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 45.
21. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 6. Понятие функции комплексного переменного, с. 23, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137.
22. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 94, 96.
23. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 110—112.
24. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 110.
25. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, ч. I, с. 45.
26. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 136.
27. Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве, 1986, 1.1., с. 8.
28. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости, с. 78.
29. Долженко Е. П. Рациональная функция, 1984, стб. 917.
30. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости, с. 79.
31. Яглом И. М. Окружности, 1963, 5.1. Круговая плоскость, с. 477.
32. Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного, 1952, с. 56—57.
33. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 9—10.
34. Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение, 1979, стб. 386.
35. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 137.
36. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 93.
37. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 127.
38. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, ч. I, с. 53.
39. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 132.
40. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90.
41. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 3. Неподвижные точки преобразования, с. 14.
42. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 132—133.
43. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 119—120.
44. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 133.
45. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 14.
46. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 133—134.
47. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 134.
48. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 53.
49. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 135.
50. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 134—135.
51. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 15.
52. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 136.
53. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 3. Свойства дробно-линейных функций, с. 54.
54. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 36. Линейная и дробно-линейная функция, с. 139.
55. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 12.
56. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 113.
57. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 87.
58. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 136—137.
59. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 137.
60. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 24.
61. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 90—91.
62. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 120.
63. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 26.
64. Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, с. 363.
65. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 121.
66. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 25.
67. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 25, 26.
68. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 91.
69. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 92.
70. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 30—31.
71. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 123.
72. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962, § 2. Дробно-линейные преобразования, с. 91—92.
73. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, § 1. Линейная функция, 122—123.
74. Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, с. 10.
75. Соломенцев Е. Д. Комплексное число, 1979, стб. 1009.
76. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 14.
77. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 20—21, 80.
78. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, § 1. Комплексная плоскость, с. 11.
79. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 1. Комплексные числа, с. 5—6.
80. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 26—32.
81. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 27.
82. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 28.
83. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 31.
84. Форд Р. Автоморфные функции, 1936, § 1. Линейное преобразование, с. 31—32.

Источники

• Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: «Мир», 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
• Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
• Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. Издание третье, перераб. и доп. М.: «Наука», 1991. 448 с.: ил. ISBN 5-02-014200-X.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: «Наука», 1967. 486 с.: ил.
• Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. Д. В. Гальцова и В. И. Хлебникова. М.: «Мир», 1987. 528 с, ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Соломенцев Е. Д. Комплексное число // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 1007—1011.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: «Высшая школа», 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
• Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 364 с., ил. [Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
• Форд Р. Автоморфные функции / Пер. с англ. М. М. Гринблюма и В. С. Рабинович под ред. М. М. Гринблюма М. — Л.: Объединённое н.-т. изд-во НКТП СССР. Гл. ред. общетехнической лит-ры и номографии, 1936. 341 с., ил. [Forg Lister R. Automorphic Functions. McGraw-Hill Book Company, 1929.]
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
• Яглом И. М. Окружности // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Tristan Needham. Visual Complex Analysis. New York: Oxford University Press Inc., 2000. 592 p. ISBN 0198534477 (Hbk). ISBN 0198534469 (Pbk). [Тристан Нидхем^[англ.]. Визуальный комплексный анализ. Нью-йорк: Издательство Оксфордского университета, 2000. 592 с., ил.]