Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Обзорные статьи: Дробно-линейное преобразование, Дробно-линейная функция, Рациональная функция, Аналлагматическая геометрия и Преобразование Мёбиуса

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости (англ. linear fractional transformation of the complex plane), — это отображение комплексной плоскости на себя^[1][2][3][4]:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований^{[5][6][7][8][9]}.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование^[10];
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной^[11];
• рациональная функция первого порядка^[12];
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса^[13].

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного^[12][4].

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом^[4][14].

Определение дробно-линейного преобразования

Формальное определение

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя^{[1][2][3][12]}:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, или коэффициенты, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$ представляет дробь, числитель и знаменатель которой

${\displaystyle az+b}$ и ${\displaystyle cz+d}$

суть целые линейные функции^[15]:

При ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробь из ${\displaystyle L(z)}$ становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть ${\displaystyle L(z)}$ перестаёт быть дробно-линейным преобразованием^[15].

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ становится следующей целой линейной функцией^[16][15][17]:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$.

Доопределение на расширенной комплексной плоскости

Компактифицируем комплексную плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Для этого добавим к множеству конечных точек ${\displaystyle z\neq \infty }$ этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку ${\displaystyle z=\infty }$ — некоторый абстрактный идеальный элемент^[18].

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой ${\displaystyle \infty }$, комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. В связи с этим исходная комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ иногда называется конечной, или открытой, плоскостью^[19].

Дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, кроме следующих^[20]:

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ — кроме точек ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$;
• при ${\displaystyle c=0}$ — кроме точки ${\displaystyle z=\infty }$.

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости^[20]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Легко получить, что^[21][20][22]:

• при ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ ввиду

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left({\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}\right)=\infty }$

доопределяем с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )=\infty }$;

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ два выражения

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle \lim _{z\to -{\frac {d}{c}}}{\frac {az+b}{cz+d}}=\infty }$

говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$.

Синонимы дробно-линейного преобразования

В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:

• как противопоставление целому линейному преобразованию:

• лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[3][23][4];
• о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[24];
• билине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[4];
• лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^[23];
• о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^[24];

• как проективное преобразование:

• гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскости^[3][4];

• отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции;

• дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости^{[1][25][26][27]};

• преобразование осуществляется с помощью его функции:

• дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^{[11][28][16][26]};
• рациона́льная фу́нкция первого порядка^[29][12];

• преобразование, сохраняющее окружности:

• то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости^[30];
• преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости^[31][4];
• отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости^[27];

• в теории относительности:

• спи́новое преобразова́ние^[14].

Простейшие свойства дробно-линейного преобразования

Детерминант дробно-линейного преобразования

Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$, —

это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования^[12][3]:

${\displaystyle ad-bc}$.

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной ${\displaystyle z}$ при условии ${\displaystyle c\neq 0}$^[32][2]:

${\displaystyle w=L(z)={\frac {{\frac {a}{c}}z+{\frac {b}{c}}}{z+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(z+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{z+{\frac {d}{c}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}}$, ${\displaystyle c\neq 0}$.

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$, то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$^{[12][32][2][26]}.

Не умаляя общности, можно разделить постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ обычной записи дробно-линейного преобразования либо на ${\displaystyle {\sqrt {ad-bc}}}$, либо на ${\displaystyle -{\sqrt {ad-bc}}}$ — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице^[33]:

${\displaystyle ad-bc=1}$.

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице^[6]:

${\displaystyle ad-bc=1}$.

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой^[34].

Биективность, гомеоморфность и конформность

1. Биективность. Дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

определена однозначно на всей расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[20].

Выразим ${\displaystyle z}$ через ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle c\neq 0}$, случай ${\displaystyle c=0}$ достаточно очевиден):

${\displaystyle z={\frac {dw-b}{-cw+a}}={\frac {-dw+b}{cw-a}}}$,

получаем, что любому ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle w\neq {\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w\neq \infty }$, отвечает одно определённое ${\displaystyle z}$, а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам ${\displaystyle w={\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w=\infty }$ отвечают точки ${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно^[20][35].

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$. Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[25].

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования^[20][35][36]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L^{\prime }(z)={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}={\frac {ad-bc}{(cz+d)^{2}}}}$.

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z\neq \infty }$. Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ — простой полюс, а точка ${\displaystyle z=\infty }$ — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ отличны от нуля: ${\displaystyle {\frac {bc-ad}{c^{2}}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {ad-bc}{c^{2}}}\neq 0}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[35].

Равенство представлений дробно-линейных преобразований

Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

называются равными, если они имеют одинаковые значения, то есть ${\displaystyle L_{1}(z)=L_{2}(z)}$ при всех значениях комплексной переменной ${\displaystyle z}$^[12].

Имеет место следующее утверждение^[12]:

• две формы дробно-линейных преобразования

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть

${\displaystyle a_{2}=\lambda a_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}=\lambda b_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}=\lambda d_{1}}$, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Доказательство^[12]

Достаточность. Пусть

${\displaystyle a_{2}=\lambda a_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}=\lambda b_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}=\lambda d_{1}}$, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Тогда

${\displaystyle {\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}={\frac {\lambda a_{1}z+\lambda b_{1}}{\lambda c_{1}z+\lambda d_{1}}}={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}.}$

Необходимость. Пусть ${\displaystyle L_{1}(z)=L_{2}(z)}$. Тогда:

• ${\displaystyle L_{1}(0)=L_{2}(0)}$, ${\displaystyle {\frac {b_{1}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{d_{2}}}=p}$, ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{b_{1}}}}$;
• ${\displaystyle L_{1}(\infty )=L_{2}(\infty )}$, ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{c_{1}}}={\frac {a_{2}}{c_{2}}}=q}$, ${\displaystyle {\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}}}$;
• ${\displaystyle L_{1}(1)=L_{2}(1)}$, ${\displaystyle {\frac {a_{1}+b_{1}}{c_{1}+d_{1}}}={\frac {a_{2}+b_{2}}{c_{2}+d_{2}}}}$.

Подставим в последнее равенство выражения

${\displaystyle b_{1}=d_{1}p}$, ${\displaystyle b_{2}=d_{2}p}$, ${\displaystyle a_{1}=c_{1}q}$, ${\displaystyle a_{2}=c_{2}q}$,

получим:

${\displaystyle {\frac {c_{1}q+d_{1}p}{c_{1}+d_{1}}}={\frac {c_{2}q+d_{2}p}{c_{2}+d_{2}}}}$,

${\displaystyle (c_{1}q+d_{1}p)(c_{2}+d_{2})=(c_{2}q+d_{2}p)(c_{1}+d_{1})}$,

${\displaystyle c_{2}d_{1}p+c_{1}d_{2}q-c_{1}d_{2}p-c_{2}d_{1}q=0}$,

${\displaystyle (c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})(q-p)=0}$.

Если ${\displaystyle q=p}$, то ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{c_{1}}}={\frac {b_{1}}{d_{1}}}}$, имеем противоречие — детерминант равен нулю: ${\displaystyle a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}=0}$. Следовательно, ${\displaystyle q\neq p}$, и тогда необходимо

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}}$.

Собирая всё вместе, получаем:

${\displaystyle {\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\frac {b_{2}}{b_{1}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {d_{2}}{d_{1}}}=\lambda }$.

Последнее утверждение имеет следующее следствие^[37]:

• значение детерминанта ${\displaystyle ad-bc}$ дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L(z)}$ не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ заменить на постоянные ${\displaystyle \lambda a}$, ${\displaystyle \lambda b}$, ${\displaystyle \lambda c}$ и ${\displaystyle \lambda d}$ при ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, то детерминант увеличится в ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта^[37].

Таким образом, дробно-линейное преобразование

${\displaystyle L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров^[38].

Неподвижные точки

В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

его образ ${\displaystyle w}$, как правило, отличен от исходной точки ${\displaystyle z}$ комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования ${\displaystyle L(z)}$^[39].

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению^[40][41]:

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle z(cz+d)=az+b}$,

${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$.

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ${\displaystyle z=z}$). В случае, когда при ${\displaystyle c=0}$ второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» ${\displaystyle \infty }$. В частности^{[40][41][6][42][43]}:

• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle b=0}$, поскольку ${\displaystyle 0=L(0)={\frac {b}{d}}}$;
• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=\infty }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c=0}$, поскольку ${\displaystyle \infty =L(\infty )={\frac {a\infty +b}{c\infty +d}}}$.

Неподвижные точки целого линейного преобразования

Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:

• целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку^[44].

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ — целая линейная, если её постоянные ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$^[39]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$.

В любом случае, поскольку всегда ${\displaystyle l(\infty )=\infty }$, у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[39].

1. Случай ${\displaystyle a\neq d}$. Точка

${\displaystyle \xi _{2}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$ —

конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования

${\displaystyle w={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$,

задаваемая этим уравнением^[39].

2. Случай ${\displaystyle a=d}$. Если ${\displaystyle {\frac {a}{d}}=1}$ и ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$, то у целого линейного преобразования

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}}$

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\neq 1}$, ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\to 1}$ конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$

стремится к бесконечно удалённой^[39].

Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная ${\displaystyle c\neq 0}$. У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:

${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$,

так как

${\displaystyle L(\infty )={\frac {a}{c}}\neq \infty }$ и ${\displaystyle L(-{\frac {d}{c}})=\infty \neq -{\frac {d}{c}}}$

соответственно^[42].

Теперь, решая в общем случае уравнение

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$, то есть ${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$,

при

${\displaystyle z\neq \infty }$ и ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$,

получим^[44]:

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем^[45]:

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{2c}}}$.

Имеем два случая.

• Дискриминант не равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$,

в унимодулярном случае^[45]:

${\displaystyle (a+d)^{2}-4\neq 0}$.

Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки^[44].

• Дискриминант равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$,

в унимодулярном случае^[45]:

${\displaystyle (a+d)^{2}-4=0}$, то есть ${\displaystyle a+d=\pm 2}$.

Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$,

которая равна нулю тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=d}$, ${\displaystyle c\neq 0}$^[44].

Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам

Только тождественное дробно-линейное преобразование ${\displaystyle U(z)=z}$ имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение^[44]:

• два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Доказательство^[46]

Пусть значения двух дробно-линейных преобразований ${\displaystyle L(z)}$ и ${\displaystyle \Lambda (z)}$ совпадают в трёх различных точках ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$:

${\displaystyle L(z_{k})=\Lambda (z_{k})=w_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,3}$.

Тогда для обратного преобразования

${\displaystyle \Lambda ^{-1}(w_{k})=z_{k}}$,

и для последовательного выполнения преобразований ${\displaystyle w=L(z)}$ и ${\displaystyle z=\Lambda ^{-1}(w)}$ получаем:

${\displaystyle \Lambda ^{-1}L(z_{k})=z_{k}}$,

Преобразование ${\displaystyle \Lambda ^{-1}L(z_{k})}$ получилось тождественное, поскольку у него три различные неподвижные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$:

${\displaystyle \Lambda ^{-1}L=U}$.

Отсюда, с одной стороны,

${\displaystyle \Lambda (\Lambda ^{-1}L)=\Lambda U=\Lambda }$,

а с другой стороны, в силу ассоциативности последовательного выполнения преобразований, то же самое выражение

${\displaystyle \Lambda (\Lambda ^{-1}L)=(\Lambda \Lambda ^{-1})L=UL=L}$.

В итоге заключаем, что два дробно-линейных преобразования ${\displaystyle L(z)}$ и ${\displaystyle \Lambda (z)}$ равны:

${\displaystyle \Lambda =L}$.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ вместе с их образами ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$, причём такое преобразование единственное^[47].

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров^[48].

Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам

Построение преобразования по трём конкретным точкам

Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$, на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения^[47]:

${\displaystyle 0=\Lambda (z_{1})}$, ${\displaystyle \infty =\Lambda (z_{2})}$, ${\displaystyle 1=\Lambda (z_{3})}$.

Имеет место следующее утверждение^[47]:

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$, отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в конкретные точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$ соответственно, задаётся следующей функцией^[47]:

${\displaystyle \Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Доказательство^[47]

Функция

${\displaystyle w=\Lambda (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

дробно-линейного преобразования:

• равна ${\displaystyle 0}$ при ${\displaystyle z=z_{1}}$ тогда и только тогда, когда числитель дроби функции равен ${\displaystyle a(z-z_{1})}$;
• равна ${\displaystyle \infty }$ при ${\displaystyle z=z_{2}}$ тогда и только тогда, когда знаменатель дроби функции равен ${\displaystyle c(z-z_{2})}$,

поэтому функция имеет следующий вид:

${\displaystyle w={\frac {a}{c}}{\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}}$.

Далее, ${\displaystyle 1=\Lambda (z_{3})}$, то есть

${\displaystyle 1={\frac {a}{c}}{\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}}$,

откуда получаем функцию

${\displaystyle w=\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Построение преобразования по любым трём точкам

1. Сначала построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$, на которых преобразование имеет следующие конечные значения^[47]:

${\displaystyle w_{1}=L(z_{1})}$, ${\displaystyle w_{2}=L(z_{2})}$, ${\displaystyle w_{3}=L(z_{3})}$.

Имеет место следующее утверждение^[47]:

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в произвольные конечные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ соответственно, задаётся следующей неявной функцией^[49]:

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Доказательства 1^[50] и 2^[51]

Доказательство 1. Согласно доказанному выше, функция

${\displaystyle \Lambda _{1}(w)={\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}}$

отображает произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ в конкретные точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$. Следовательно, последовательное выполнение функций ${\displaystyle \Lambda _{1}L(z)}$ отобразит комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \Lambda _{1}L(z)=\Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Произведя замену ${\displaystyle w=L(z)}$, получаем:

${\displaystyle \Lambda _{1}(w)=\Lambda (z)}$,

то есть

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Доказательство 2. Рассмотрим дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Оно переводит произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в произвольные конечные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ соответственно, поскольку:

• обе его части равны нулю при ${\displaystyle z=z_{1}}$ и ${\displaystyle w=w_{1}}$;
• обе его части равны бесконечности при ${\displaystyle z=z_{2}}$ и ${\displaystyle w=w_{2}}$;
• обе его части равны единице при ${\displaystyle z=z_{3}}$ и ${\displaystyle w=w_{3}}$.

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$, ${\displaystyle k,l=1,2,3}$, конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:

• в случае, если какая-то ${\displaystyle z_{k_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для z) или какая-то ${\displaystyle w_{l_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для w) или они обе вместе ${\displaystyle z_{k_{0}}=w_{l_{0}}=\infty }$, то тогда в уравнении

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$

разности с бесконечными ${\displaystyle z_{k_{0}}}$ и ${\displaystyle w_{l_{0}}}$ заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются^[52].

Поскольку каждая из шести точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$ входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком^[53], то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка ${\displaystyle z_{1}=\infty }$, то тогда, временно считая ${\displaystyle z_{1}}$ конечной, заменим ${\displaystyle z-z_{1}}$ на

${\displaystyle {\frac {z}{z_{1}}}-1}$

и затем осуществим переход к пределу при ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$^[52].

Двойное отношение четырёх точек

Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

где ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа^{[52][54][55][56][57]}.

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через ${\displaystyle \lambda }$, то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин^[57]:

${\displaystyle \lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}}$.

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности^[58][54][55].

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек^[59]:

${\displaystyle (\infty ,z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{2}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},\infty ,z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},\infty ,z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},\infty )={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}}$.

Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения^[59][54][55]:

• двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

Доказательства 1^[59] и 2^[54][55]

Доказательство проведём двумя разными способами. Пусть:

• ${\displaystyle w=L(z)}$ — произвольное дробно-линейное преобразование;
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ — четыре произвольные различные точки комплексной плоскости;
• ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$ — образы соответственно точек ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ при преобразовании ${\displaystyle w=L(z)}$.

Доказательство 1. Построим дробно-линейное преобразование по трём точкам: три из четырёх точек ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{4}}$ отображаются преобразованием ${\displaystyle w=L(z)}$ в три точки ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{4}}$ соответственно, то есть

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Поскольку ${\displaystyle w_{3}=L(z_{3})}$, то при ${\displaystyle z=z_{3}}$ получаем:

${\displaystyle {\frac {w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Отсюда сразу по определению следует, что

${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3},w_{4})=(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})}$.

Доказательство 2. Найдём формулу для разности образов точек дробно-линейного преобразования ${\displaystyle w_{3}-w_{1}}$, формулы остальных разностей вычисляются аналогично:

${\displaystyle w_{3}-w_{1}={\frac {az_{3}+b}{cz_{3}+d}}-{\frac {az_{1}+b}{cz_{1}+d}}=}$.

${\displaystyle ={\frac {ad-bc}{(cz_{3}+d)(cz_{1}+d)}}(z_{3}-z_{1})}$.

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}}}{\frac {w_{4}-w_{2}}{w_{4}-w_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

причём разности с бесконечно удалённой точкой, если они есть, нужно заменить единицей.

Нормальная форма дробно-линейного преобразования

Общий случай двух различных конечных неподвижных точек

Итак, если не учитывать тождественное преобразование ${\displaystyle z=z}$, то дробно-линейного преобразования разделены на два класса^[60]:

• имеющие две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$;
• имеющие одну неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$.

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение^{[61][60][62][10]}:

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

в общем случае имеющее при условиях ${\displaystyle c\neq 0}$ и ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$ две различные конечные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$,

можно представить в неявной форме как

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$, где ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}\neq 0;1}$.

Доказательства 1^[61][62] и 2^[60]

По условию, дробно-линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$:

• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$ в точку ${\displaystyle \xi _{1}}$;
• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{2}}$ в точку ${\displaystyle \xi _{2}}$.

Чтобы полностью определить преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, выберем третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:

• переводит бесконечную точку ${\displaystyle \infty }$ в точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$.

Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

1. Пусть

${\displaystyle v=S(w)={\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}}$, ${\displaystyle y=S(z)={\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ —

два дробно-линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, две неподвижные точки ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{2})=S(\xi _{2})=\infty }$,

то оно обязательно имеет вид

${\displaystyle v=Ky}$,

где ${\displaystyle K}$ — некоторая комплексная постоянная,

${\displaystyle Ky=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}KyS}$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$.

Это преобразование имеет две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$. Так как оно переводит третью точку ${\displaystyle \infty }$ в точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$:

${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}{{\frac {a}{c}}-\xi _{2}}}=K}$, то есть ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}}$,

то эта неявная форма будет представлять дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$. Причём ${\displaystyle K\neq 1}$, поскольку ${\displaystyle \xi _{1}\neq \xi _{2}}$, и ${\displaystyle K\neq 0}$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную.

2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{2}}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {z-\xi _{2}}{z-\xi _{1}}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}}$, ${\displaystyle K\neq 0;1}$ — постоянная.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle z_{3}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {a}{c}}}$;
• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{2}}$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{3}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {a}{c}}}$.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}{\frac {{\frac {a}{c}}-\xi _{2}}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}={\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$,

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$, где ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}}$, ${\displaystyle K\neq 0;1}$.

При втором:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{2}}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {z-\xi _{2}}{z-\xi _{1}}}}$, где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}}$, ${\displaystyle K\neq 0;1}$.

Следует иметь в виду, что вид формул для ${\displaystyle K}$ зависит не только от порядка неподвижных точек, но еще и от выбранной третьей точки преобразования.

Определение нормальной формы и множителя

Неявная форма

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K_{1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$

называется нормальной формой, или каноническим видом, дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная ${\displaystyle K}$ называется множителем дробно-линейного преобразования^{[40][60][62][34]}.

Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$

обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$:

любую степень дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L^{n}}$ в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$. Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, например^[63]:

${\displaystyle L^{2}:(v=Ky)^{2}}$,

${\displaystyle L^{2}:v=K(Ky)=K^{2}y}$,

${\displaystyle L^{2}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{2}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$.

Аналогично^[63]

${\displaystyle L^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$;

${\displaystyle L^{-1}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$.

Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой вид^[64]:

• случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:w-\xi _{1}=K^{n}(z-\xi _{1})}$;;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:w-\xi _{1}=K^{-n}(z-\xi _{1})}$;;

• случай совпадающих конечных неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+nh}$;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}-nh}$;

• случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:w=z+nh}$;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:w=z-nh}$.

Выражения множителя через постоянные преобразования

Имеет место следующее утверждение:

• множитель ${\displaystyle K}$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:

• через симметричную функцию ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$, также не зависящую от порядка этих неподвижных точек^[60]:

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2}$,

в унимодулярном случае:

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2}$,

или

${\displaystyle {\sqrt {K}}+{\frac {1}{\sqrt {K}}}=a+d}$;

• непосредственно^[65]:

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}}$,

в унимодулярном случае^[60]:

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}}}$.

В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель ${\displaystyle K}$ зависят только от суммы двух постоянных преобразования ${\displaystyle a+d}$^[66].

Доказательства 1^[60] и 2^[65]

Доказательство 1. Выразить множитель ${\displaystyle K}$ через постоянные дробно-линейного преобразования

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

удобнее с помощью симметричной функции ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}+{\frac {a-c\xi _{2}}{a-c\xi _{1}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2a^{2}-2ac(\xi _{1}+\xi _{2})+c^{2}(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2})}{a^{2}-ac(\xi _{1}+\xi _{2})+c^{2}\xi _{1}\xi _{2}}}}$.

Вспоминая формулы Виета и то, что уравнение

${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$

имеет корни ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$, получаем:

${\displaystyle \xi _{1}+\xi _{2}={\frac {a-d}{c}}}$, ${\displaystyle \xi _{1}\xi _{2}=-{\frac {b}{c}}}$,

откуда

${\displaystyle \xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}={\frac {(a-d)^{2}+2bc}{c^{2}}}}$,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a^{2}+d^{2}+2bc}{ad-bc}}=}$

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2(ad-bc)}{ad-bc}}=}$

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2}$.

Доказательство 2. Подставляя в выражение для ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}}$,

значения

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}}$,

${\displaystyle \xi _{2}={\frac {a-d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}}$,

получаем:

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}}$.

Классификация дробно-линейных преобразований

Две различные неподвижные точки, одна бесконечная

Имеет место следующее утверждение^[60]:

• целое линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{d}}}$,

имеющее при условиях ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a\neq d}$ и унимодулярной нормировке ${\displaystyle ad=1}$ две различные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {b}{d-a}}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$,

где ${\displaystyle K={\frac {a}{d}}\neq 1}$ — постоянная, причём также ${\displaystyle K\neq 0}$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=}$.

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2}$,

в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2}$.

Доказательства 1^[61][62] и 2^[67]

По условию, целое линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$:

• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$ в точку ${\displaystyle \xi _{1}}$;
• переводит неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$ в точку ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$.

Чтобы полностью определить преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, выберем общую третью точку, воспользуемся тем, что преобразование:

• переводит произвольную точку ${\displaystyle z_{0}}$ в точку ${\displaystyle {\frac {az_{0}+b}{d}}}$.

Доказательство 1. Так как две различные неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ можно упорядочить двумя разными способами, то рассмотрим два случая.

1. Пусть

${\displaystyle v=S(w)=w-\xi _{1}}$, ${\displaystyle y=S(z)=z-\xi _{1}}$ —

два целых линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего целого линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, две неподвижные точки ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{2})=S(\xi _{2})=\infty }$,

то оно обязательно имеет вид ${\displaystyle v=Ky}$, где ${\displaystyle K}$ — некоторая комплексная постоянная,

${\displaystyle Ky=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}KyS}$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого целого линейного преобразования:

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$.

Это преобразование имеет две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \infty }$. Так как оно переводит третью произвольную точку ${\displaystyle z_{0}}$ в точку ${\displaystyle {\frac {az_{0}+b}{d}}}$:

${\displaystyle {\frac {az_{0}+b}{d}}-\xi _{1}=K(z_{0}-\xi _{1})}$, то есть ${\displaystyle K={\frac {az_{0}+b-d\xi _{1}}{d(z_{0}-\xi _{1})}}}$,

то тогда эта неявная форма будет представлять целое линейное преобразование ${\displaystyle L.}$

2. Аналогично можно показать, что в случае другого порядка неподвижных точек неявная форма дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {1}{z-\xi _{1}}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {d(z_{0}-\xi _{1})}{az_{0}+b-d\xi _{1}}}}$ — постоянная.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{2}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{2}\to \infty }$, ${\displaystyle z_{3}=z_{0}}$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {az_{0}+b}{d}}}$;
• ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{1}\to \infty }$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{3}=z_{0}}$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {az_{0}+b}{d}}}$.

При первом способе получаем следующую неявную форму преобразования ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{{\frac {az_{0}+b}{d}}-\xi _{1}}}={\frac {z-\xi _{1}}{z_{0}-\xi _{1}}}}$,

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$, где ${\displaystyle K={\frac {az_{0}+b-d\xi _{1}}{d(z_{0}-\xi _{1})}}}$.

При втором:

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{K}}{\frac {1}{z-\xi _{1}}}}$, где ${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {d(z_{0}-\xi _{1})}{az_{0}+b-d\xi _{1}}}}$.

Здесь вид формулы для ${\displaystyle K}$ зависит только от порядка неподвижных точек, так как третья точка выбрана общей.

Множитель ${\displaystyle K}$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, просто выражаются через постоянные целого линейного преобразования. Подставляя в выражение для ${\displaystyle K}$ значение ${\displaystyle \xi _{1}={\frac {b}{d-a}}}$, получаем:

${\displaystyle K={\frac {az_{0}+b-d{\frac {b}{d-a}}}{d(z_{0}-{\frac {b}{d-a}})}}={\frac {az_{0}d+bd-a^{2}z_{0}-ab-bd}{d(z_{0}d-az_{0}-b)}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a(z_{0}d-az_{0}-b)}{d(z_{0}d-az_{0}-b)}}={\frac {a}{d}}}$.

Аналогично

${\displaystyle {\frac {1}{K}}={\frac {d}{a}}}$.

Очевидно, что

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=}$.

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2}$.

Совпадающие неподвижные точки

Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать ${\displaystyle \xi _{1}}$. В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождество^[68].

Имеет место следующее утверждение^{[69][70][71][34]}:

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

имеющее при условиях ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$, в случае унимодулярности ${\displaystyle a+d=\pm 2}$, и ${\displaystyle c\neq 0}$ двойную конечную неподвижную точку

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$,

где ${\displaystyle h={\frac {2c}{a+d}}\neq 0}$ — постоянная, в случае унимодулярности ${\displaystyle h=\pm c}$, причём при ${\displaystyle a+d=2}$ постоянная ${\displaystyle h=c}$, а при ${\displaystyle a+d=-2}$ постоянная ${\displaystyle h=-c}$.

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a=d}$, в случае унимодулярности ${\displaystyle a=d=\pm 1}$, имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием ${\displaystyle L}$ в обычном виде:

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}=w=z+h}$,

в случае унимодулярности

${\displaystyle w=z\pm b}$.

Доказательства 1^[72][73] и 2^[70]

Случай ${\displaystyle c\neq 0}$. Чтобы полностью определить преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, выберем три точки ${\displaystyle z}$ и три их образа ${\displaystyle w}$:

• неподвижная точка ${\displaystyle \xi _{1}}$ переводится в точку ${\displaystyle \xi _{1}}$;
• точка ${\displaystyle \infty }$ переводится в точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$;
• точка ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$ переводится в точку ${\displaystyle \infty }$.

Доказательство 1. Так как можно сделать так, чтобы дробно-линейное преобразование ${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$ имело единственную неподвижную точку бесконечность или нуль, то рассмотрим оба случая.

1. Пусть

${\displaystyle v=S(w)={\frac {1}{w-\xi _{1}}}}$, ${\displaystyle y=S(z)={\frac {1}{z-\xi _{1}}}}$ —

два дробно-линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, только одна неподвижная точка ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\infty )=S\left({\frac {a}{c}}\right)={\frac {1}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=\infty }$,

то оно обязательно имеет вид ${\displaystyle v=y+h}$, где ${\displaystyle h}$ — некоторая комплексная постоянная, ${\displaystyle h\neq 0}$, поскольку тождественное преобразование не рассматривается,

${\displaystyle y+h=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}(y+h)S}$.

Тем самым получаем следующую неявную форму некоторого дробно-линейного преобразования:

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$.

Это преобразование переводит одну неподвижную точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ саму в себя, а также точку ${\displaystyle \infty }$ в ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ и точку ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$ ${\displaystyle \infty }$. Подставляя последние две точки по-очереди в неявную форму, получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {a}{c}}-\xi _{1}}}=h}$, то есть ${\displaystyle h={\frac {c}{a-c\xi _{1}}}={\frac {c}{a-c{\frac {a-d}{2c}}}}={\frac {2c}{a+d}}}$,

${\displaystyle 0={\frac {1}{-{\frac {d}{c}}-\xi _{1}}}+h}$, то есть ${\displaystyle h={\frac {c}{d-c\xi _{1}}}={\frac {c}{d-c{\frac {a-d}{2c}}}}={\frac {2c}{a+d}}}$,

и неявная форма

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+{\frac {2c}{a+d}}}$

представляет дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$.

2. Пусть

${\displaystyle v=S(w)=w-\xi _{1}}$, ${\displaystyle y=S(z)=z-\xi _{1}}$ —

два целых линейных преобразования, и ${\displaystyle z=S^{-1}(y)}$ — преобразование, обратное к преобразованию ${\displaystyle y=S(z)}$. Тогда получаем:

${\displaystyle v=SLS^{-1}(y)}$.

Поскольку у последнего дробно-линейного преобразования, отображающего ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle v}$, только одна неподвижная точка ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle SLS^{-1}(0)=SL(\xi _{1})=S(\xi _{1})=0}$,

${\displaystyle SLS^{-1}(\infty )=SL(\infty )=S\left({\frac {a}{c}}\right)={\frac {a}{c}}-\xi _{1}}$,

то оно обязательно имеет вид

${\displaystyle v={\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}}$,

где ${\displaystyle h_{1}}$ и ${\displaystyle h_{2}}$ — некоторые комплексные постоянные,

${\displaystyle {\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}=SLS^{-1}}$, ${\displaystyle L=S^{-1}\left({\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}\right)S}$.

Преобразуем эту дробно-линейную функцию:

${\displaystyle v={\frac {h_{1}y}{h_{2}y+h_{1}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{v}}={\frac {h_{2}y+h_{1}}{h_{1}y}}}$,

${\displaystyle {\frac {1}{v}}={\frac {1}{y}}+{\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{v}}={\frac {1}{y}}+h}$,

где ${\displaystyle h={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$ — некоторая комплексная постоянная.

Получаем, что второй случай сведён к первому.

Доказательство 2. Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L}$ по этим шести точкам, подставив их в уравнение

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

Сделать это можно двумя основными способами:

• ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{1}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle z_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{2}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{3}=-{\frac {d}{c}}}$, ${\displaystyle w_{3}\to \infty }$;
• ${\displaystyle z_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle w_{1}=\xi _{1}}$, ${\displaystyle z_{2}\to \infty }$, ${\displaystyle w_{2}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle z_{3}=-{\frac {d}{c}}}$, ${\displaystyle w_{3}\to \infty }$.

При первом способе получаем следующую неявную нормальную форму преобразования ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {w-{\frac {a}{c}}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {{\frac {d}{c}}+\xi _{1}}{z-\xi _{1}}}}$.

Вычтем из левой и правой частей этого уравнения единицу:

${\displaystyle {\frac {\xi _{1}-{\frac {a}{c}}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {\xi _{1}+{\frac {d}{c}}}{z-\xi _{1}}}-1}$.

Принимая во внимание, что

${\displaystyle \xi _{1}-{\frac {a}{c}}={\frac {a-d}{2c}}-{\frac {a}{c}}=-{\frac {a+d}{2c}}}$,

${\displaystyle \xi _{1}+{\frac {d}{c}}={\frac {a-d}{2c}}+{\frac {d}{c}}={\frac {a+d}{2c}}}$,

получаем неявную нормальную форму

${\displaystyle -{\frac {\frac {a+d}{2c}}{w-\xi _{1}}}=-{\frac {\frac {a+d}{2c}}{z-\xi _{1}}}-1}$,

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+{\frac {2c}{a+d}}}$.

При втором способе получаем то же самое, что и при первом.

Случай ${\displaystyle c=0}$. Когда ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a=d}$, возникают совпадающие бесконечно удалённые неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$, при этом нормальная форма

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}}$

совпадает с самим преобразованием ${\displaystyle L}$ в исходном виде.

Четыре типа дробно-линейных преобразований

Классификация дробно-линейных преобразований строится^[60]:

• на количестве неподвижных точек;
• на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.

Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём показательную, или тригонометрическую, форму^[74] комплексного числа. Пусть

${\displaystyle K=re^{i\varphi }}$,

где вещественное число ${\displaystyle r=|K|\geqslant 0}$ — модуль, или абсолютная величина комплексного числа ${\displaystyle K}$, а вещественное число ${\displaystyle -\pi <\varphi =\arg K\leqslant \pi }$ — главное значение аргумента комплексного числа ${\displaystyle K}$^{[75][63][76][77][78][79]}.

Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразований^[80]:

• случай различных неподвижных точек:

• ${\displaystyle K=r}$, ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle r\neq 1}$, — гиперболическое дробно-линейное преобразование, подобное преобразование с центром в начале координат;
• ${\displaystyle K=e^{i\varphi }}$, ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$, — эллиптическое дробно-линейное преобразование, вращение около начала координат;
• ${\displaystyle K=re^{i\varphi }}$, ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle r\neq 1}$, ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$, — локсодромическое дробно-линейное преобразование, композиция гиперболического и эллиптического преобразований;

• случай одной неподвижной точки:

• ${\displaystyle K=1}$ — параболическое дробно-линейное преобразование, это перенос.

Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точках^[10]:

• семейство всех окружностей ${\displaystyle \Sigma }$, проходящих через обе неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$^[81];
• семейство всех окружностей ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$, ортогональных к окружностям первого семейства ${\displaystyle \Sigma }$^[82].

При единственной неподвижной точке окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке ${\displaystyle \xi _{1}}$ общую касательную, а семейство окружностей ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ исчезает^[34][83].

Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразований^[34][80].

Четыре типа дробно-линейных преобразований

	Гиперболическое	Эллиптическое	Локсодромическое	Параболическое
Нормальная форма общего случая ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$
Бесконечной неподвижной точки нет[34]	${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$			${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$
Бесконечная неподвижная точка есть[34]	${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$			${\displaystyle w=z+h}$
Ограничения на ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle h}$[34]	${\displaystyle K\neq 1,}$ ${\displaystyle K>0}$	${\displaystyle K\neq 1,}$ ${\displaystyle |K|=1}$	${\displaystyle |K|\neq 1,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} K\neq 0}$ или ${\displaystyle K<0}$	${\displaystyle h\neq 0}$
Показательная форма ${\displaystyle K}$[80]	${\displaystyle K=r,}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r\neq 1}$	${\displaystyle K=e^{i\varphi },}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$	${\displaystyle K=re^{i\varphi },}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r\neq 1,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$	${\displaystyle K=1}$
Унимодулярный случай ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}},}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$
Сумма постоянных ${\displaystyle a+d}$[34][80]	${\displaystyle a+d}$ вещественное и ${\displaystyle |a+d|>2}$	${\displaystyle a+d}$ вещественное и ${\displaystyle |a+d|<2}$	${\displaystyle a+d}$ комплексное невещественное	${\displaystyle a+d=\pm 2}$
Геометрические свойства
Неподвижные круги[34][80]	Окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ и их внутренности отображаются сами в себя	Окружности семейства ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются сами в себя	Нет неподвижных кругов	Отображаются сами в себя окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ и их внутренности
Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижны[80]	Окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются в окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов	Окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются в окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов
Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовне[80]	Нет таких неподвижных окружностей	При ${\displaystyle \phi =\pi }$ окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	При ${\displaystyle \phi =\pi }$ окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	Нет таких неподвижных окружностей
Геометрическое преобразование комплексной плоскости[80]	Подобие	Поворот	Комбинация подобия и поворота	Параллельный перенос

При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёх^[84]:

• гиперболического,
• эллиптического,
• параболического.

Причём, если ${\displaystyle \infty }$ не является неподвижной точкой, то есть ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через ${\displaystyle \infty }$, то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через ${\displaystyle \infty }$. Эта прямая проходит также через две конечные точки^[84]:

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$.