Дельта-функция

У этого термина существуют и другие значения, см. Дельта (значения).

Де́льта-фу́нкция (или дельта-мера, δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Схематический график одномерной дельта-функции.

Например, плотность единичной точечной массы m, находящейся в точке a одномерного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1},}$ записывается с помощью ${\displaystyle \delta }$-функции в виде ${\displaystyle m\delta (x-a).}$ Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

Несмотря на распространённую форму записи ${\displaystyle \delta (x),x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \delta }$-функция не является функцией вещественной переменной, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Можно ввести производную для δ-функции, которая тоже будет обобщённой функцией, и интеграл, определяемый как функция Хевисайда. Нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к ${\displaystyle \delta }$-функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.

Введена английским физиком Полем Дираком.

Определения

Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, строго говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\ n>1)}$.

Простое определение

Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно определить как функцию ${\displaystyle \delta (x)}$, удовлетворяющую следующим условиям:

• ${\displaystyle \delta (x)=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,&x=0,\\0,&x\neq 0;\\\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\,dx=1.}$

То есть эта функция не равна нулю только в точке ${\displaystyle x=0}$, где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности ${\displaystyle x=0}$ был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Для понимания интеграла полезно представить себе некую фигуру на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшать основание данного треугольника и увеличивать высоту так, чтобы площадь была неизменной, то в предельном случае мы получим треугольник с малым основанием и очень большой высотой. По предположению его площадь равна единице, что и показывает интеграл. Вместо треугольника можно без ограничения общности использовать любую фигуру. Аналогичные условия верны и для дельта-функций, определённых на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Эти равенства не принято считать определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для точного определения дельта-функции. Отметим, что из данного определения дельта-функции вытекает следующее равенство

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y)}$

(фильтрующее свойство) для любой функции f. Действительно, в силу свойства ${\displaystyle \delta (x-y)=0}$ при ${\displaystyle x\neq y}$ значение этого интеграла не изменится, если функцию ${\displaystyle f(x)}$ заменить функцией ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$, которая равна ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x=y}$, а в остальных точках имеет произвольные значения. Например, берём ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(y)=\operatorname {const} }$, затем выносим ${\displaystyle f(y)}$ за знак интеграла и, используя второе условие в определении дельта-функции, получаем нужное равенство.

Производные от дельта-функции также почти всюду равны 0 и обращаются в ${\displaystyle \pm \infty }$ при ${\displaystyle x=0}$.

Классическое определение

Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором функциональном пространстве (пространстве основных функций). В зависимости от цели и желаемых свойств, это может быть пространство функций с компактным носителем, пространство функций, быстро убывающих на бесконечности, гладких функций на многообразии, аналитических функций и т. д. Для того, чтобы были определены производные дельта-функции с хорошими свойствами, во всех случаях основные функции берутся бесконечно дифференцируемыми, пространство основных функций также должно быть полным метрическим пространством. Общий подход к обобщённым функциям см. в соответствующей статье. Такие обобщённые функции также называют распределениями.

Мы рассмотрим самый простой вариант. В качестве пространства основных функций рассмотрим пространство ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Последовательность ${\displaystyle \varphi _{n}\in {\mathcal {E}}}$ сходится к ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {E}}}$, если на любом компакте ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ функции ${\displaystyle \varphi _{n}}$ сходятся к ${\displaystyle \varphi }$ равномерно вместе со всеми своими производными:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\varphi \iff \sup _{j}\sup _{x\in K}\left|\varphi _{n}^{(j)}(x)-\varphi ^{(j)}(x)\right|{\xrightarrow {n\to \infty }}\,0.}$

Это локально выпуклое метризуемое пространство. Дельта-функцию определим как функционал ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}^{\prime }}$, такой что

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {E}}:\;\langle \delta$ ;\;\varphi \rangle =\varphi (0).}

Непрерывность означает, что если ${\displaystyle \varphi _{n}\to \varphi }$, то ${\displaystyle \langle \delta$ ;\;\varphi _{n}\rangle \to \langle \delta ;\;\varphi \rangle } . Здесь ${\displaystyle \langle \delta$ ;\;\varphi \rangle }  — значение функционала на функции ${\displaystyle \varphi }$.

Дельта-функция по Коломбо

Используемому для работы с дельта-функцией интегральному выражению можно придать смысл, близкий к интуитивному, в рамках теории алгебры обобщённых функций Коломбо (англ. Colombeau algebra)^[1].

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — множество бесконечно дифференцируемых функций ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ с компактным носителем, то есть не равных нулю лишь на ограниченном множестве. Рассмотрим множество функций

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}\,{\bigg |}\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\,dx=1,\;\int _{\mathbb {R} }x\varphi (x)\,dx=0\right\}.}$

Обобщённая функция — это класс эквивалентности функций ${\displaystyle R\colon {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle R\colon (\varphi ,\;x)\mapsto R(\varphi ,\;x),}$ бесконечно дифференцируемых по x при каждом ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {A}}}$ и удовлетворяющих некоторому условию умеренности (полагая ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\varphi (x\varepsilon ^{-1}),}$ ${\displaystyle R(\varphi _{\varepsilon },\;x)}$ и все её производные по x достаточно медленно растут при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$). Две функции полагаются эквивалентными, если ${\displaystyle R_{1}-R_{2}\in {\mathcal {N}}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ — ещё один класс функций с ограничениями на рост ${\displaystyle R(\varphi _{\varepsilon },\;x)}$ при ${\displaystyle \varepsilon \to 0.}$

Дельта-функция определяется как ${\displaystyle \delta (\varphi ,\;x)=\varphi (-x).}$ Преимущество подхода Коломбо в том, что его обобщённые функции образуют коммутативную ассоциативную алгебру, при этом на множество обобщённых функций естественно продолжаются понятия интегрирования, дифференцирования, пределов, даже значения в точке. В этом смысле на дельта-функцию действительно можно смотреть как на функцию, равную 0 везде, кроме точки 0, и равную бесконечности в нуле, так как теория Коломбо включает в себя теорию бесконечно больших и бесконечно малых чисел, аналогично нестандартному анализу.

Подход Егорова

Аналогичная теория обобщённых функций была изложена в работе Ю. В. Егорова^[2]. Хотя она не эквивалентна теории Коломбо, конструкция значительно проще и обладает большинством желаемых свойств.

Обобщённая функция — это класс эквивалентности последовательностей ${\displaystyle f=(f_{1},\;f_{2},\;\ldots ),\;f_{i}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ).}$ Последовательности ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ считаются эквивалентными, если для любого компакта ${\displaystyle \Omega \Subset \mathbb {R} }$ функции последовательностей совпадают на ${\displaystyle \Omega }$ начиная с некоторого номера:

${\displaystyle f\sim {\tilde {f}}\iff \forall \Omega \Subset \mathbb {R} \ \exists N\ \forall k>N\colon f_{k}|_{\Omega }={\tilde {f}}_{k}|_{\Omega }.}$

Всевозможные операции над последовательностями (умножение, сложение, интегрирование, дифференцирование, композиция, …) определяются покомпонентно. Например, интеграл по множеству I определяется как класс эквивалентности последовательности

${\displaystyle \int _{I}f(x)\,dx=[(a_{1},\;a_{2},\;\ldots )],\;a_{i}=\int _{I}f_{i}(x)\,dx.}$

Две обобщённые функции слабо равны, если для любой бесконечно гладкой функции ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{I}(f_{k}(x)-{\tilde {f}}_{k}(x))\varphi (x)\,dx=0.}$

При этом дельта-функция определяется любой дельта-образной последовательностью (см. ниже), все такие обобщённые функции слабо равны.

Свойства

• Дельта-функция чётная.
• Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида ${\displaystyle (-a_{1},\;a_{2}),}$ где ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ — произвольные действительные положительные числа, равен 1.
• ${\displaystyle x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x).}$
• ${\displaystyle \delta (f(x))=\sum _{k}{\frac {\delta (x-x_{k})}{|f'(x_{k})|}}}$, где ${\displaystyle x_{k}}$ — простые нули функции ${\displaystyle f(x)}$.

Функция Хевисайда

• Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array}}\right.}$

• Фильтрующее свойство дельта-функции:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

δ-Функция как слабый предел

График функции ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}.}$

Пусть ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1.}$

Тогда последовательность

${\displaystyle f_{n}(x)=nf(nx)}$

слабо сходится к ${\displaystyle \delta }$-функции.

Выбор интегрируемой функции ${\displaystyle f(x),}$ определённый интеграл которой в пределах от ${\displaystyle {-\infty }}$ до ${\displaystyle {+\infty }}$ равен 1 произволен.

Например, в качестве ${\displaystyle f(x)}$ можно выбрать функцию sinc: ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$ дающую последовательность:

${\displaystyle f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x}}={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x}}.}$

При требовании, чтобы все функции в последовательности были всюду положительны, можно в качестве исходной функции выбрать, например, нормированную функцию Гаусса или иную любую всюду неотрицательную функцию, интеграл которой равен 1:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}},}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {n}{\sqrt {\pi }}}e^{-(nx)^{2}}.}$

Интегральное представление

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\,d\omega .}$

Доказательство

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle I(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega ,}$    (1)

который можно интерпретировать как предел

${\displaystyle I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),}$

где

${\displaystyle I_{N}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-N}^{N}e^{i\omega t}\,d\omega ={\frac {1}{\pi }}N{\frac {\sin {tN}}{tN}}.}$    (2)

Известно, что

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\pi .}$    (3)

В силу (3) для любого ${\displaystyle N}$ справедливо равенство:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }I_{N}(t)\,dt={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin {tN}}{tN}}\,d(tN)=1.}$    (4)

Можно показать (см. выше), что при неограниченном росте N для функции (2) оказываются верными все свойства дельта-функции и она в некотором смысле стремится к ${\displaystyle \delta (t).}$

Производная дельта-функции

По определению производной дельта-функции ${\displaystyle \delta (x)}$:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{\prime }(x-a)\,dx=-f^{\prime }(a)}$

(распространение интегрирования по частям на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию).

Аналогично для n-й производной дельта-функции:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{[n]}(x-a)\,dx=-\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}\delta ^{[n-1]}(x-a)\,dx.}$

А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{[n]}(x-a)\,dx=\left.(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}f(x)}{\partial x^{n}}}\right|_{x=a}.}$

Для производной дельта-функции имеет место тождество:

${\displaystyle f(x)\delta ^{\prime }(x)=f(0)\delta ^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)\delta (x),}$

которое можно получить дифференцируя произведение ${\displaystyle f(x)\delta (x)}$.

Преобразование Фурье

• В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .}$
• Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

${\displaystyle F\left\{\delta (t-t_{0})\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_{0})\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-i\omega \cdot t_{0}}.}$

Таким образом, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в точке ${\displaystyle t_{0}}$, является «волной» в пространстве частот, обладающей «периодом» ${\displaystyle {\frac {2\pi }{t_{0}}}}$. В частности, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в нуле, является константой (нестрого говоря — «волной» с бесконечно большим «периодом»):

${\displaystyle F\left\{\delta (t)\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-i\omega \cdot 0}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.}$

Соответственно, наоборот — дельта-функция является Фурье-образом чистой гармонической функции или константы.

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат

В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

${\displaystyle \int \delta ^{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\,d^{n}x=1;}$

${\displaystyle \delta ^{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\ldots \delta (x_{n}).}$

В двумерном пространстве:

${\displaystyle \iint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1;}$

${\displaystyle \delta ^{2}(ax,\;by)={\frac {1}{\left|ab\right|}}\delta ^{2}(x,\;y);}$

${\displaystyle \delta ^{2}(x,\;y)=\delta (x)\delta (y).}$

В полярных координатах:

${\displaystyle \delta ^{2}(r,\;\varphi )={\frac {\delta (r)}{2\pi \left|r\right|}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0),

${\displaystyle {\frac {\delta (r-r_{0})\delta (\varphi -\varphi _{0})}{|r|}}}$ — с особенностью в точке общего положения ${\displaystyle (r_{0},\;\varphi _{0});}$ при r=0 доопределяется нулём.

В трёхмерном пространстве:

${\displaystyle \iiint \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;}$

${\displaystyle \delta ^{3}(x,\;y,\;z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z).}$

В цилиндрической системе координат:

${\displaystyle \delta ^{3}(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\delta (r)\delta (z)}{2\pi r}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при ${\displaystyle r=0,\;z=0}$),

${\displaystyle {\frac {\delta (r-r_{0})\delta (\varphi -\varphi _{0})\delta (z-z_{0})}{|r|}}}$ — с особенностью в точке общего положения ${\displaystyle (r_{0},\;\varphi _{0},\;z_{0});}$ при r=0 доопределяется нулём.

В сферической системе координат:

${\displaystyle \delta ^{3}(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\delta (r)}{4\pi r^{2}}}}$ — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0).

В формулах с особенностью в начале координат нередко используют вдвое большие коэффициенты (1/π для цилиндрической и полярной, 1/2π для сферической). Это связано с тем, что предполагается вдвое меньший результат интегрирования в случае, если особая точка находится точно на границе интервала интегрирования.

Физическая интерпретация

Вблизи заряженной точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Мгновенное ускорение

Пусть частица, способная перемещаться вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретает какую-то скорость. Зададимся вопросом: как рассчитать ускорение, приобретённое телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

${\displaystyle a(t)=\nu \delta (t-t_{a}).\ }$

Масса/заряд материальной точки

Если нужно найти суммарную массу (суммарный заряд) некоторого распределения плотности (или плотности заряда), содержащего, наряду с непрерывной компонентой ${\displaystyle \rho _{\mathrm {contin} }}$, ещё и точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, раздельно учитывающей непрерывную конечную плотность и дискретные вклады:

${\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i}}$,

где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ — радиус-вектор положения рассматриваемого элемента (для определённости обозначения соответствуют массе, а не заряду), писать просто:

${\displaystyle M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV}$,

имея в виду, что ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ включает как непрерывную, так и дельтообразные, то есть сосредоточенные в геометрических точках (по одной для каждого точечного объекта ${\displaystyle m_{i}}$), составляющие:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i})}$.

Другие примеры

• Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе (${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтообразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.
• Преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.
• Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представлениях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.
• Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора ${\displaystyle L}$, действующего на обобщённые функции над многообразием ${\displaystyle M}$, уравнение, определяющее функцию Грина ${\displaystyle g}$ с источником в точке ${\displaystyle x_{0},}$ имеет вид

${\displaystyle L\,g(x,\;x_{0})=\delta (x-x_{0}).}$

Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как Оператор Д’Аламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).

• Для лапласиана в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ функцией Грина является функция ${\displaystyle 1/r}$, так что

${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle r}$ — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }}$

удовлетворяет уравнению Пуассона:

${\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi \varrho .}$

См. также

• Обобщённая функция
• Функция Грина
• Символ Кронекера

Примечания

1. Colombeau J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. — Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. — 281 с. — ISBN 978-0-444-87756-7.
2. Егоров Ю. В. К теории обобщённых функций // УМН. — 1990. — Т. 45, вып. 5 (275). — С. 3—40.

Литература

• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
• Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
• Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
• Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.