Гипотеза Ловаса о гамильтоновом цикле

Гипотеза Ловаса о гамильтоновом цикле — классическая гипотеза в теории графов.

Гамильтонов путь в графе Кэли симметрической группы.

Сформулирована в четвёртом томе «Искусства программирования», но, скорее всего, была известна гораздо раньше.

Формулировка

Каждый конечный связный вершинно-транзитивный граф содержит гамильтонов путь.

Вариации и обобщения

• Любой конечный связный вершинно-транзитивный граф, кроме пяти исключений, содержит гамильтонов цикл; исключения составляют:
  • Полный граф ${\displaystyle K_{2}}$,
  • Граф Петерсена и граф, полученный из него заменой каждой вершины на треугольник,
  • Граф Коксетера и граф, полученный из него заменой каждой вершины на треугольник.

• 
  Полный граф ${\displaystyle K_{2}}$.
• 
  Граф Петерсена.
• 
  Граф Коксетера.

Ни одно из пяти исключений не является графом Кэли. Это наблюдение приводит к более слабой версии гипотезы

• Любой граф Кэли конечной группы содержит гамильтонов цикл.

Для ориентированных графов Кэли гипотеза не верна.

Частные случаи

• Известно, что ориентированный граф Кэли абелевой группы имеет гамильтонов путь.
  • С другой стороны, циклические группы, порядок которых не является степенью простого числа, допускают ориентированный граф Кэли без гамильтонова цикла.^[1]
• В 1986 году Д. Витте доказал, что гипотеза верна для графов Кэли p-групп.
• Вопрос остаётся открытым для диэдральных групп.

Известно, что для симметрической группы гипотеза верна для следующих наборов образующих:

• ${\displaystyle a=(1,2,\dots ,n),b=(1,2)}$ (длинный цикл и транспозиция).
• ${\displaystyle s_{1}=(1,2),s_{2}=(2,3),\dots ,s_{n-1}=(n-1,n)}$ (образующие Кокстера). В этом случае гамильтонов цикл строится алгоритмом Штайнхаусa — Джонсона — Троттера^[англ.].
• ${\displaystyle a=(1,2),b=(1,2)(3,4)\cdots ,c=(2,3)(4,5)\cdots }$.

Ссылки

1. Holsztyński, W.; Strube, R. F. E. (1978), "Paths and circuits in finite groups", Discrete Mathematics, 22 (3): 263—272, doi:10.1016/0012-365X(78)90059-6, MR 0522721.