Пропорция (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Пропорция.

Пропо́рция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой») — равенство отношений двух [и более] пар чисел ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c,d}$, т. е. равенство вида ${\displaystyle a:b=c:d}$, или, в других обозначениях, равенство ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ (часто читается как: «${\displaystyle a}$ относится к ${\displaystyle b}$ так же, как ${\displaystyle c}$ относится к ${\displaystyle d}$»). В этом случае ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle d}$ называют крайними, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle \ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$
• Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle \ ad=bc}$. Иными словами, произведение крайних членов равно произведению средних. Это свойство называется основным свойством пропорции.
• Перестановка средних и крайних членов. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}$ (перестановка средних членов пропорции),

${\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}}$ (перестановка крайних членов пропорции).

• Увеличение и уменьшение пропорции. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}}$ (увеличение пропорции),

${\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}}$ (уменьшение пропорции).

• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ (составление пропорции сложением),

${\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ (составление пропорции вычитанием).

Доказательство (составление пропорции сложением и вычитанием)

Докажем для сложения. Выразим ${\displaystyle c}$ через остальные члены пропорции: ${\displaystyle c={\frac {ad}{b}}}$. Тогда:

${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+d}}={\frac {a(b+d)}{b(b+d)}}={\frac {a}{b}}.}$

Для вычитания доказательство аналогично. ■

История

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний^[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.^[2] Позже Евдокс Книдский упростил определение, равенство пропорций ${\displaystyle a:b=c:d}$ им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

• ${\displaystyle m\cdot a>n\cdot b}$ и ${\displaystyle m\cdot c>n\cdot d}$,
• ${\displaystyle m\cdot a=n\cdot b}$ и ${\displaystyle m\cdot c=n\cdot d}$,
• ${\displaystyle m\cdot a<n\cdot b}$ и ${\displaystyle m\cdot c<n\cdot d}$

для любой пары натуральных чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, данное в несколько более абстрактном виде, использовалось далее при определении вещественных чисел Дедекиндом через сечения.

Связанные определения

Арифметическая пропорция

См. также: Среднее арифметическое

Равенство двух разностей ${\displaystyle a-b=c-d}$ иногда называют арифметической пропорцией^[3].

Гармоническая пропорция

Основная статья: Золотое сечение

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: ${\displaystyle a:b=b:(a-b)}$. В этом случае, разложение ${\displaystyle a}$ на сумму двух слагаемых ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle a-b}$ называется гармоническим делением или золотым сечением^[4].

Задачи на тройное правило

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин^[5][6].

См. также

• Пропорциональность

Примечания

1. Топика Аристотеля
2. Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum». Annals of mathematics. — 1945. — S. 242—264.
3. Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
4. Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
5. Справочник по элементарной математике  (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.
6. Решение задач на простое тройное правило. Способы решения  (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

Литература

• Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.