Воздушная масса (астрономия)

Эта статья — о воздушной массе как астрономической концепции. О воздушных массах в метеорологии см. Воздушная масса.

Возду́шная ма́сса — мера количества воздуха на луче зрения при наблюдении небесного светила сквозь атмосферу Земли^[1]. Применяется для расчёта потери силы света и светимости в астрономии и актинометрии.

Выражается как интеграл плотности воздуха по лучу зрения:

${\displaystyle \sigma _{\text{абс}}=\int \rho \,\mathrm {d} s\,.}$

По мере проникновения в атмосферу свет ослабляется за счёт рассеяния и поглощения; чем толще атмосфера, через которую он проходит, тем больше ослабление. Следовательно, небесные светила ближе к горизонту кажутся менее яркими, чем ближе к зениту. Это ослабление, известное как атмосферная экстинкция, количественно описывается законом Бугера — Ламберта — Бера. Абсолютная воздушная масса, определённая вышеуказанной формулой, имеет размерность поверхностной плотности (число единиц массы на единицу площади, например г/см² или кг/м²). Абсолютная воздушная масса в зените, измеренная в неподвижной атмосфере, равна атмосферному давлению, делённому на ускорение свободного падения (если пренебречь изменением ускорения свободного падения с высотой в атмосфере): ${\displaystyle \sigma _{\text{абс.зен.}}=P/g.}$ Для стандартной атмосферы на уровне моря на широте 45° абсолютная зенитная воздушная масса равна 10 330 кг/м².

Термин «воздушная масса» обычно означает относительную воздушную массу, отношение абсолютной воздушной массы (определённой как указано выше) при наклонном падении к абсолютной воздушной массе в зените:

${\displaystyle \sigma (z)={\frac {\sigma _{\text{абс}}(z)}{\sigma _{\text{абс.зен.}}}},}$

где z — зенитный угол (угол между направлением на источник и направлением на зенит из точки наблюдения). В этом определении воздушная масса является безразмерной величиной. По определению, относительная воздушная масса в зените равна единице: σ(0°) = 1. Воздушная масса увеличивается по мере увеличения зенитного угла, достигая значения примерно 38 на горизонте (то есть при z = 90°). Конечное значение воздушной массы на горизонте появляется лишь с учётом сферичности атмосферы; плоскопараллельная (менее реалистичная) модель атмосферы даёт значение воздушной массы ${\displaystyle \sigma (z)=\sec z,}$ стремящееся к бесконечности при z → 90°, хотя вполне корректно описывающее зависимость воздушной массы от зенитного угла при z < 80°.

Воздушная масса может быть меньше единицы на высоте выше уровня моря; однако большинство приближённых формул для воздушной массы не учитывают влияние высоты наблюдателя, поэтому корректировку обычно необходимо выполнять другими способами.

Приближения в расчёте воздушной массы

Геометрическая зависимость воздушной массы от высоты светила. На участке от 10° до 90° кривые по всем приближениям почти сливаются

В расчёте воздушной массы существует несколько приближений, последовательно дающих всё более правильный результат^[2].

• Первое приближение почти идеально рассчитывает воздушную массу для высот светил от 90° до 30° и удовлетворительно до 10—15° над горизонтом. Оно самое простое: принимается модель плоскопараллельной бесконечной атмосферы с постоянной плотностью и конечной высотой, равной 1 и число воздушных масс определяется вычислением секанса зенитного расстояния ${\displaystyle z}$ в градусах:

${\displaystyle M=\sec \,z\,.}$

• Второе приближение: принимается модель сферической изотермической атмосферы с постоянной плотностью и конечной высотой. Имеет существенное значение в 10—15° от горизонта, особенно на последних 5°, где по первому приближению быстро накапливается ошибка и атмосферная масса устремляется в бесконечность (см. второй график).
• Третье приближение к модели сферической атмосферы добавляет искривление и удлинение пути светового луча из-за рефракции в атмосфере, играет роль до 5—10° от горизонта.
• Четвёртое приближение помимо сферичности атмосферы и рефракции состоит в учёте изменения температуры воздуха. С падением температуры воздушная масса растёт. Имеет смысл до 5° над горизонтом.
• Пятое приближение вносит поправку на изменение атмосферного давления. Снижение давления с высотой может существенно уменьшить воздушную массу на большой высоте. На уровне моря и на обычных средних высотах суши влияние погодных колебаний атмосферного давления мало́ даже на горизонте^[3]

Графики расчётной воздушной массы от разных авторов в сравнении со сферической и плоскопараллельной моделями атмосферы. Показана самая сложная для расчётов часть, где возможны максимальные расхождения

Раз и навсегда рассчитать точную воздушную массу по всем приближениям для каждого угла невозможно, поскольку учёт всех изменчивых атмосферных условий всегда вносит некоторый разброс в конечных результатах, доходящий около горизонта до нескольких единиц атмосфер^[4]. Но можно вычислить приближающиеся к реальным значениям цифры в усреднённых условиях.

На горизонте, где наибольшие расхождения по разным приближениям, на уровне моря возможны следующие значения атмосферной массы:

 — первое приближение: бесконечное число;

 — второе приближение: ок. 35,5 атмосфер, однако современные более сложные расчёты без учёта рефракции дают 32 атмосферы^[5][6];

 — третье приближение: ок. 38 атмосфер при температуре 10—15 °C^[6][7];

 — четвёртое приближение: 35—42 атмосферы — при возможных приземных температурах от +60° до −60 °C и разных моделях атмосферы^[4]. В Антарктиде иногда наблюдаются более низкие температуры, но это бывает только в глубине материка на высоте 3—4 км.

Считается, что для расчётов в астрономии и актинометрии достаточно первого и второго приближений (модель сферической атмосферы, см. график), применение третьего уже избыточно, учёт остальных факторов носит только теоретический интерес^{[2] [8]}. Дело в том, что астрономические наблюдения и фотометрия до 15° от горизонта проблематичны, а освещённость от невысокого Солнца больше зависит от наличия аэрозолей и водяных паров в неидеальной атмосфере, чем от колебаний температуры и давления.

История расчётов воздушной массы

Первым расчёт воздушных масс во втором приближении, то есть с учётом кривизны Земли и атмосферы, сделал в первой половине 18-го века родоначальник теории поглощения света Пьер Бугер^[8], причём его вычисления были довольно близки современным. Он же указал на возможность применения третьего приближения (искривление луча в атмосфере), но считал, что в большинстве случаев для расчётов это не обязательно^{[лит 1]}.

Затем формулы для расчёта во втором и в третьем приближении вывели Ламберт и Лаплас. Впоследствии формулы и таблицы воздушных масс были опубликованы многими авторами. Также придумано много формул интерполяции, «подгоняющих» зависимость атмосферной массы от угла к табличным значениям и применяемых для получения разультата под интересующим углом, не имеющимся в таблице.

В 1904 году Адзельо Бемпорад^[итал.] вывел формулы с учётом кривизны Земли, атмосферной рефракции и падения температуры с высотой, без компьютера и калькулятора рассчитал и составил очень подробную таблицу воздушных масс с точностью до пятого знака после запятой для высот Солнца с подробностью до градусов и минут, а также рассчитал множество поправочных коэффициентов для различных приземных температур и давлений^[8][9]. Эти значения долгое время служили эталоном для астрофизических и актинометрических расчётов^[2], но затем неоднократно пересматривались, поскольку они базировались на известных тогда параметрах атмосферы только до высоты 10 км^[10].

Свои расчёты атмосферной массы предлагались и советскими учёными Г. В. Розенбергом (см. на графике), В. Г. Фесенковым^[4] и Н. М. Штауде, причём последняя пробовала рассчитывать воздушные массы в условиях сумерек для положений Солнца до 3° за горизонтом^[11]. А Г. В. Розенберг представил достаточно компактную формулу интерполяции, которая даёт удовлетворительные результаты:

${\displaystyle M=\left(\cos \,z+0.025e^{-11\cos \,z}\right)^{-1}\,,}$

где z — зенитный угол^[4].

В 1965 году Фриц Кастен представил новые таблицы и формулы расчёта воздушной массы, составленные по современным на тот момент параметрам стандартной атмосферы от 1959 года, основанных на прямых измерениях при помощи геофизических ракет и космических аппаратов^[10]. В 1989 году Кастен совместно с Эндрю Янгом опубликовали уточнённые данные воздушных масс в соответствии со стандартной атмосферой от 1972 года, выдержки из которых представлены в таблице ниже, а также новую аппроксимационную формулу, дающую хорошие результаты при всех углах светил для атмосферы на уровне моря при температуре 15 °C и давлении 760 мм рт. ст.:

${\displaystyle M={\frac {1}{\sin \,\gamma +0.50572\,(\gamma +6.07995^{\circ })^{-1.6364}}}\;,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — угловая высота^[7].

Таблицы воздушных масс можно найти во многих физических, астрофизических и астрономических справочниках, как, например, компилятивная из разных источников работа Аллена, опубликованная в 1950-70-е годы^[6]. Как правило они основаны на теперь уже историческом труде Бемпорада, но так как они с учётом его же поправок мало отличаются от более современных исследований, то вполне могут использоваться для большинства вычислений.

Результаты расчётов воздушной массы

Воздушная масса на уровне моря в нормальных условиях
Угловая высота или Зенит. угол [# 1]	Авторы
	Бугер, 1729 г. [лит 1][лит 2]	Ламберт, 1760 г. [2][12][# 2]	Лаплас, 19век [лит 2] [11][13][14][15][# 3]	Бемпорад[итал.], 1904 г. [8][13][# 4]	Розенберг, 1963 г.[4] Штауде, 1949 г. [11][16][# 5]	Кастен и Янг, 1989 г. [7][# 6]
90° 0°	1,000	1,000	1,000	1,000	1,00	1,0000
80° 10°	1,015		1,015; 1,0164	1,015		1,0154
70° 20°	1,064	1,064	1,064; 1,0651	1,064		1,0640
65° 25°	1,103			1,103		1,1031
60° 30°	1,155		1,154; 1,1556	1,154	1,15	1,1543
55° 35°	1,221			1,220		1,2202
50° 40°	1,305	1,303	1,304; 1,3060	1,304		1,3045
45° 45°	1,414		1,413	1,413	1,41	1,4128
40° 50°	1,556		1,553; 1,5550	1,553		1,5535
35° 55°	1,742		1,739	1,740		1,7398
30° 60°	1,990	1,995; 2,00	1,993; 1,9954	1,995	2,00	1,9939
25° 65°	2,350	2,36	2,354	2,357		2,3552
20° 70°	2,900	2,91	2,899; 2,9023	2,904	2,92	2,9016
19,3°	3,003			3,004		3,0008
19° 71°	3,040			3,049		3,0455
18° 72°	3,200	3,22	3,201	3,209		3,2054
17° 73°	3,380			3,388		3,3838
16° 74°	3,580	3,61	3,579	3,588		3,5841
15° 75°	3,792		3,803; 3,8087	3,816	3,85	3,8105
14° 76°	4,060	4,11	4,060	4,075		4,0682
13° 77°	4,350			4,372		4,3640
12,5°			4,5237	4,537		4,5288
12° 78°	4,690	4,76	4,694	4,716		4,7067
11° 79°	5,099			5,120		5,1081
10° 80°	5,560	5,620; 5,65	5,563; 5,5711	5,609	5,65	5,5841
9° 81°	6,130		6,129	6,177		6,1565
8° 82°	6,820	6,96	6,818	6,884		6,8568
7,5°			7,2343	7,300		7,2684
7° 83°	7,670		7,676	7,768	7,60	7,7307
6° 84°	8,770	9,07	8,768	8,900		8,8475
5° 85°	10,200	10,480; 10,70	10,196; 10,2165	10,395	10,4	10,3164
4° 86°	12,140	12,80	12,125; 12,1512	12,439	12,3	12,3174
3° 87°	14,877	16,00	14,835; 14,8723	15,365	15,1	15,1633
2° 88°	19,031	20,10	18,835; 18,8825	19,787	19,4	19,4308
1° 89°	25,807	27,50	25,1374	26,959	26,3/26,98	26,2595
0,5°				32,332	32	31,3064
0° 90°	35,496	35,500; 39,90	35,5034; 44[4]	39,651	40/40	38,0868
-1° 91°					—/63,4
-2° 92°					—/129,1
-3° 93°					—/307,6
Угловая высота, градусы [# 1]	Бугер, 1729 г. [лит 1] [лит 2]	Ламберт, 1760 г. [12][17][# 2]	Лаплас,19век [лит 2] [14][15][11][13][# 3]	Бемпорад[итал.], 1904 г. [8][13][# 4]	Розенберг, 1963 г.[4] Штауде, 1949 г. [11][16][# 5]	Кастен и Янг, 1989 г. [7][# 6]
Примечания Высота светила над горизонтом и соответствующий зенитный угол в угловых градусах. Две цифры после запятой — по Сивкову С.И., три цифры — по Броунову П.И. Три цифры после запятой — по Müller F., Schoenberg E., Кондратьеву К. Я. и Бемпораду А., четыре цифры — по Forbes J. При температуре 0°C и давлении 760 мм рт. ст. для длины волны 540 нм В числителе — Розенберг Г.В., в знаменателе — Штауде Н.М. При температуре 15°C и давлении 760 мм рт. ст. для длины волны 700 нм

Применение приближений по температуре и атмосферному давлению

Эмпирические формулы Бемпорада для поправок к атмосферной массе^[18] в небольшой обработке Н. М. Штауде^[3] в зависимости от угловой высоты:

поправки по приземной температуре:

ΔM(10°) = −0,0007·T

ΔM(8°) = −0,0013·T

ΔM(6°) = −0,0026·T

ΔM(4°) = −0,0065·T

ΔM(3°) = −0,0114·T + 0,000023·T²

ΔM(2°) = −0,0215·T + 0,000050·T²

ΔM(1°) = −0,0442·T + 0,000142·T²

поправки по атмосферному давлению:

ΔM(6°) = 0,0001·(P — 760)

ΔM(4°) = 0,0003·(P — 760)

ΔM(3°) = 0,0005·(P — 760)

ΔM(2°) = 0,0010·(P — 760)

ΔM(1°) = 0,0021·(P — 760),

где: T — температура приземного воздуха в градусах Цельсия, P — давление в миллиметрах ртутного столба.

На бо́льших угловых высотах изменения настолько незначительны, что поправки не имеют смысла.

Например при температуре −70 °C и давлении 800 мм рт. ст. для светила на угловой высоте 1° поправки считаются так:

ΔM(1°) = −0,0442·(-70) + 0,000142·(-70)² = 3.094 + 0,6958 = 3,7898 атм.

ΔM(1°) = 0,0021·(800—760) = 0,084 атм.

Конечный результат будет: 26,959 + 3,7898 + 0,084 = 30,8328 атм.

В следующей таблице даны воздушные массы по Бемпораду с учётом поправок по этим формулам для температур −15 °C и +15 °C и показаны для сравнения цифры воздушных масс по Кастену и Янгу для температуры +15 °C.

Температурные изменения воздушной массы
Угловая высота или Зенит. угол [# 1]	Авторы
	Бемпорад[итал.], 1904 г. -15 °C [19][# 2]	Бемпорад[итал.], 1904 г. 0 °C [19][# 3]	Бемпорад[итал.], 1904 г. +15 °C [19][# 4]	Кастен и Янг, 1989 г. +15 °C [7][# 5]
10° 80°	5,6195	5,609	5,5985	5,5841
9° 81°		6,177		6,1565
8° 82°	6,9035	6,884	6,8645	6,8568
7° 83°		7,768		7,7307
6° 84°	8,9390	8,900	8,8610	8,8475
5° 85°		10,395		10,3164
4° 86°	12,5365	12,439	12,3415	12,3174
3° 87°	15,5412	15,365	15,1992	15,1633
2° 88°	20,1208	19,787	19,4758	19,4308
1° 89°	27,6540	26,959	26,3280	26,2595
0° 90°		39,651		38,0868
Угловая высота [# 1]	Бемпорад[итал.] -15 °C [19][# 2]	Бемпорад[итал.] 0 °C [19][# 3]	Бемпорад[итал.] +15 °C [19][# 4]	Кастен и Янг, +15 °C [7][# 5]
Примечания Высота светила над горизонтом и соответствующий зенитный угол в угловых градусах. При температуре –15°C и давлении 760 мм рт. ст. для длины волны 540 нм При температуре 0°C и давлении 760 мм рт. ст. для длины волны 540 нм При температуре +15°C и давлении 760 мм рт. ст. для длины волны 540 нм При температуре +15°C и давлении 760 мм рт. ст. для длины волны 700 нм

Литература

1. Бугер П. Оптический трактат о градации света. — [Москва]: Изд-во и 1-я тип. Изд-ва Акад. наук СССР в Л., 1950. — С. 262—272, 463. — 479 с.
2. Müller G. [ Die photometrie der gestirne]. — Leipzig, 1897. — С. 135.

1. Green D. W. E. Magnitude Corrections for Atmospheric Extinction (англ.) // International Comet Quarterly. — 1992. — Vol. 14. — P. 55–59. — ISSN 0736-6922. — Bibcode: 1992ICQ....14...55G. Архивировано 19 июля 2011 года.
2. Сивков С. И. Методы расчета характеристик солнечной радиации (рус.). — Л.: Гидрометеоиздат, 1968. — С. 32—36. — 234 с.
3. Штауде Н. М. К вопросу об определении коэффициента прозрачности земной атмосферы (рус.) // Известия Научного Института им. П.Ф.Лесгафта. — 1929. — Т. XV, вып. 1 и 2. — С. 61.
4. Розенберг Г. В. Сумерки (рус.). — М.: Физматгиз, 1963. — С. 183—195. — 380 с.
5. Young, A. T. 1994. Air mass and refraction. Applied Optics. 33:1108–1110. doi: 10.1364/AO.33.001108. Bibcode 1994ApOpt..33.1108Y. (payment required)
6. Аллен К. У. Астрофизические величины (рус.) / Пер. с англ. под ред. Д. Я. Мартынова. — М.: Мир, 1977. — 448 с.
7. Kasten F., Young A. T. Revised optical air mass tables and approximation formula (англ.) // Applied Optics. — 1989. — Vol. 28, iss. 22. — P. 4735–4738. — doi:10.1364/AO.28.004735. — Bibcode: 1989ApOpt..28.4735K. — PMID 20555942.
8. Курс астрофизики и звёздной астрономии (рус.) / Отв. ред. А. А. Михайлов. — Москва ; Ленинград: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951. — Том 1. Методы исследований и аппаратура. — С. 492, 507—510.
9. Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre (нем.) // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. — 1904. — H. 4. — S. 1–78.
10. Kasten F. A new table and approximation formula for the relative optial air mass (англ.) // Archiv für Meteorologie, Geophysik und Bioklimatologie, Serie B. — 1965. — Vol. 14, iss. 2. — P. 206–223.
11. Кондратьев К. Я. Лучистая энергия Солнца (рус.) / Под ред. проф. П. Н. Тверского. — Л.: Гидрометеоиздат, 1954. — С. 72—73. — 600 с.
12. Броунов П. И. Атмосферная оптика: Световые явления неба в связи с предсказанием погоды (рус.). — М.: Гос. техн. изд-во, 1924. — С. 121. — 220 с. — (Инженерно-промышленная библиотека).
13. Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre (нем.) // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. — 1904. — H. 4. — S. 42, 43, 66—68.
14. Forbes J. D. On the Transparency of the Atmosphere and the Law of Extinction of the Solar Rays in Passing through It (англ.) // Phil. Trans.. — 1842. — Iss. II. — P. 225—273. Архивировано 17 ноября 2022 года.
15. Schoenberg E.  (нем.) // Handbuch der Astrophysik. — 1927. — Bd. II. — S. 190.
16. Штауде Н. М. Освещённость атмосферы (ореол) от земных источников (рус.) // Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая. — 1949. — Т. XIII, вып. 1. — С. 83.
17. Сивков С.И. Методы расчета характеристик солнечной радиации (рус.). — Л.: Гидрометеоиздат, 1968. — С. 34. — 234 с.
18. Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre (нем.) // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. — 1904. — H. 4. — S. 49.
19. Bemporad A. Zur Theorie der Extinktion des Lichtes in der Erdatmosphäre (нем.) // Mitteilungen der Grossh. Sternwarte zu Heidelberg. — 1904. — H. 4. — S. 49, 66—68.