Вариация (статистика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация.

Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений.^[1] Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.^[2]

Показатели вариации

Абсолютные показатели

• размах вариации:

${\displaystyle R=x_{\max }-x_{\min };}$

• среднее линейное отклонение:

${\displaystyle a={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|,}$

где ${\displaystyle {\bar {x}}}$ — выборочное среднее.

• среднеквадратическое отклонение:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}};}$

• дисперсия:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2};}$

• среднее квартильное (квантильное) расстояние:

${\displaystyle q={\frac {(Q_{3}-\mathrm {Me} )+(\mathrm {Me} -Q_{1})}{2}}={\frac {(Q_{3}-Q_{1})}{2}},}$

где ${\displaystyle Q_{1}}$, ${\displaystyle Q_{3}}$ — первый (нижний) и третий (верхний) квартили соответственно, ${\displaystyle \mathrm {Me} =Q_{2}}$ — медиана (второй или серединный квартиль).

Относительные показатели

• относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

${\displaystyle \rho ={\frac {R}{\bar {x}}};}$

• относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации):

${\displaystyle m={\frac {a}{\bar {x}}};}$

• коэффициент вариации:

${\displaystyle V={\frac {\sigma }{\bar {x}}};}$

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. По мнению автора рассматриваемого коэффициента К. Пирсона — коэффициент вариации эффективнее абсолютного показателя вариации^[3].

Известно, что коэффициент вариации может быть записан посредством долей^[4]:

${\displaystyle V={\sqrt {n\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}-1}},}$

где ${\displaystyle p_{i}={\frac {x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}}}$.

${\displaystyle \nu ={\frac {\sigma }{\mu }},}$

где ${\displaystyle \mu }$ — математическое ожидание. Эта формула применяется для вероятностных моделей.

• относительное квартильное расстояние:

${\displaystyle d={\frac {q}{\bar {x}}}.}$

Примечания

1. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2002. — ISBN 5-279-01956-9.
2. Шмойлова Р. А. Общая теория статистики: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2002. — ISBN 5-279-01951-8.
3. Pearson K. Mathematical contributions to the theory of evolution. III. Regression, heredity, and panmixia // Philos. Trans. of the Royal Soc. of London. Ser. A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. — 1896. — V. 187. — рр. 253—318.
4. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975. — 848 с.