Линейный функционал называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) [Примечание 1]
2) для любых
3) для любого , где — оператор сдвига, действующий следующим образом:
Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом[1]. Из определения следует, что и , если последовательность сходится. Множество банаховых пределов обозначается как . — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства . Из неравенства треугольника следует, что для любых справедливо неравенство . Если и являются крайними точками множества , то [2].
Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если , то [3].
Функционал можно представить в виде () тогда и только тогда, когда
- для всех
Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы [3].
Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал
Используя свойства 1.—3. получаем:
Для
справедливо, что
,
значит — банахов предел. То же самое верно для функционала . По построению . Докажем единственность такого представления при . Пусть при .
Выше доказано, что , аналогичные рассуждения показывают, что . По лемме 1 получаем
Теорема доказана[3].
Для заданных , , для любых
равномерно по [4]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом[5]:
Последовательность называется почти сходящейся к числу , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны . Используется следующее обозначение: . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение . — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в . Множество почти сходящихся к числу последовательностей обозначается как . Ясно, что для любого [3].
Пример
Последовательность не имеет обычного предела, но . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: .
Также можно будет использовать следующую лемму:
Лемма 2
Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду [3].
Системой Радемахера называется последовательность функций
Каждому можно поставить в соответствие функцию
которая называется характеристической функцией банахова предела . — комплекснозначная функция[6].
Свойства характеристических функций
Пусть , тогда
- периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из
- для любых
- , что для любого и
- график плотен в прямоугольнике
- для всех
[6]
Здесь и далее под понимается последовательность
- Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
- Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
- E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
- Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
- Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
- Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)