Аксиома счётного выбора

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая ${\displaystyle \mathbf {AC} _{\omega }.}$ Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}\dots }$ можно построить последовательность их представителей ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\dots }$ при этом множества ${\displaystyle S_{i}}$ могут быть бесконечными и даже несчётными^[1].

Пусть каждое из множеств ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}\dots }$ непусто. Аксиома счётного выбора утверждает, что можно взять по одному элементу ${\displaystyle x_{i}}$ из каждого множества ${\displaystyle S_{i}}$ и выстроить их в последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\dots }$

Место аксиомы в математике

Аксиома счётного выбора ${\displaystyle \mathbf {AC} _{\omega }}$ представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора (${\displaystyle \mathbf {AC} }$), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора)^[2]. В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частности^[3]:

• для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
• мера Лебега счётно-аддитивна;
• всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант ${\displaystyle \mathbf {AC} _{\omega },}$ называемый «аксиома зависимого выбора» (${\displaystyle \mathbf {DC} }$). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности (${\displaystyle \mathbf {AD} }$).

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с. — Глава 3, § 4.
• Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
• Медведев Ф. А. Ранняя история аксиомы выбора. — М.: Наука, 1982. — 304 с. Архивная копия от 28 октября 2015 на Wayback Machine
• Медведев Ф. А. Аксиома выбора и математический анализ // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 167-188.
• Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств = Handbook of Mathematical Logic / Барвайс Дж.. — М.: Наука, 1983. — 392 с.
• Herrlich, Horst. Choice principles in elementary topology and analysis (англ.) // Comment.Math.Univ.Carolinae. — 1997. — Vol. 38, no. 3. — P. 545.
• Potter, Michael. Set Theory and its Philosophy: A Critical Introduction. — Oxford University Press, 2004. — ISBN 9780191556432.  (англ.)

Примечания

1. Кановей В. Г., 1984, с. 9.
2. Potter, 2004, с. 164.
3. Кановей В. Г., 1984, с. 6, 9.