Loading AI tools
стандарт, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой Из Википедии, свободной энциклопедии
IEEE 754 (IEC 60559) — широко используемый стандарт IEEE, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой. Используется в программных (компиляторы разных языков программирования) и аппаратных (CPU и FPU) реализациях арифметических действий (математических операций).
Стандарт описывает:
Стандарт 2008 года заменяет IEEE 754-1985. В новый стандарт включены двоичные форматы из предыдущего стандарта и три новых формата. В соответствии с действующим стандартом, реализация должна поддерживать по крайней мере один из основных форматов, как и формат арифметики и формат обмена.
Список стандартов:
Текущая версия IEEE 754—2008 была опубликована в 2008 году. Она дополняет и заменяет предыдущую версию IEEE 754-1985, созданную Dan Zuras и отредактированную Майком Коулишоу[англ.].
Международный стандарт ISO/IEC/IEEE 60559:2011 (с идентичным IEEE 754—2008) был одобрен и опубликован для JTC1/SC 25 под соглашением ISO/IEEE PSDO.
Бинарные форматы в первоначальном стандарте включены в новый стандарт наряду с тремя новыми основными форматами (одним бинарным и двумя десятичными). Для того, чтобы соответствовать текущему стандарту, реализация должна реализовать по крайней мере один из основных форматов.
По состоянию на сентябрь 2015 года, стандарт пересматривается с целью включения уточнений.
Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
Формат IEEE 754 представляет собой «совокупность представлений числовых значений и символов». Формат может также включать в себя способ кодирования.
Формат включает:
Возможные конечные значения, которые могут быть представлены в формате, определяются основанием , числом знаков в мантиссе (с точностью ) и максимальным значением :
Следовательно (для предыдущего примера) наименьшее отличное от нуля положительное число, которое может быть представлено — , а самым большим — (), а также полный спектр чисел от до . Числа и ( и ) являются самыми маленькими (по абсолютной величине) нормальными числами; ненулевые числа между этими наименьшими числами называются субнормальные.
Некоторые числа могут иметь несколько представлений в формате, в котором они были только что описаны. Например, если и , то число может быть представлено как: , или .
Для десятичных форматов любое представление справедливо, и совокупность этих представлений называется когортами. Когда результат может иметь несколько представлений, стандарт определяет, какой выбран членом когорты.
Для бинарных форматов представление делается уникальным путём выбора наименьшего представляемого показателя. Для чисел с показателем в нормальном диапазоне (не все из них или все нули), ведущий бит мантиссы всегда будет равен 1. Следовательно, ведущий 1 бит может подразумеваться, а не сохраняться явно в памяти. Это правило называется ведущей битной конвенцией или скрытой битной конвенцией. Правило позволяет сберечь 1 бит памяти, чтобы иметь ещё один бит точности. Ведущий бит конвенции не используется для субнормальных чисел; их показатель находится за пределами нормального диапазона значений.
Стандарт определяет пять основных форматов, которые названы по их числовой базе и числу бит, используемых в их кодировке. Существуют три базовых формата двоичной плавающей запятой (закодированные с 32, 64 или 128 битами) и два десятичных формата с плавающей запятой (кодируются 64 или 128 битами). Форматы binary32 и binary64 — это одиночные и двойные форматы IEEE 754—1985. Соответствующая реализация должна полностью реализовать по крайней мере один из основных форматов.
В стандарте также определены форматы обмена, которые обобщают эти основные форматы. Для двоичных единиц требуется соглашение с ведущими битами. В таблице перечислены наименьшие форматы обмена (включая базовые).
Название | Полное название | Основание | Число двоичных разрядов мантиссы | Число десятичных разрядов | Экспонента (бит) | Десятичный E max | Смещение экспоненты[1] | E min | E max | Примечания |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
binary16 | Половинная точность | 2 | 11 | 3,31 | 5 | 4,51 | 24−1 = 15 | −14 | +15 | Не основной |
binary32 | Одинарная точность | 2 | 24 | 7,22 | 8 | 38,23 | 27−1 = 127 | −126 | +127 | |
binary64 | Двойная точность | 2 | 53 | 15,95 | 11 | 307,95 | 210−1 = 1023 | −1022 | +1023 | |
binary128 | Четырёхкратная точность | 2 | 113 | 34,02 | 15 | 4931,77 | 214−1 = 16383 | −16382 | +16383 | |
binary256 | Восьмикратная точность | 2 | 237 | 71,34 | 19 | 78913.2 | 218−1 = 262143 | −262142 | +262143 | Не основной |
decimal32 | 10 | 7 | 7 | 7,58 | 96 | 101 | −95 | +96 | Не основной | |
decimal64 | 10 | 16 | 16 | 9,58 | 384 | 398 | −383 | +384 | ||
decimal128 | 10 | 34 | 34 | 13,58 | 6144 | 6176 | −6143 | +6144 |
Обратите внимание: в приведенной выше таблице минимальные показатели указаны для обычных чисел. Специальное представление субнормальных чисел позволяет представить даже меньшие числа (с некоторой потерей точности). Например, наименьшее число двойной точности, большее нуля, которое может быть представлено в этой форме, равно 2−1074 (потому что 1074 = 1022 + 53 − 1).
Десятичное значение — это значение × log10 основание, это дает приблизительную точность в десятичной системе.
Десятичное E max — это emax × log10 основание, это дает максимальную степень в десятичном формате.
Как было указано ранее, форматы binary32 и binary64 идентичны форматам IEEE 754—1985 и являются двумя наиболее распространенными форматами, используемыми сегодня. На рисунке справа показана абсолютная точность для форматов binary32 и binary64 в диапазоне от 10−12 до 1012. Такой показатель может быть использован для выбора подходящего формата с учётом ожидаемого значения числа и требуемой точности.
Стандарт так же определяет расширенные и расширяемые форматы точности, которые рекомендованы для обеспечения большей точности, чем базовые форматы. Расширенный формат точности расширяет базовый формат, используя более высокую точность и более широкий диапазон экспоненты. Расширенный формат точности позволяет пользователю задавать диапазон точности и экспоненты. Реализация может использовать любое внутреннее представление, которое оно выбирает для таких форматов. Все, что нужно определить — это параметры b, p и emax. Эти параметры однозначно описывают множество конечных чисел (комбинаций знака и экспоненты для данного основания), которые он может представлять.
Стандарт не требует реализации для поддержки расширенных или расширяемых точных форматов.
В стандарте рекомендуется, чтобы языки предоставляли метод задания значений p и emax для каждого поддерживаемого основания b.
В стандарте рекомендуется, чтобы языки и реализации поддерживали расширенный формат, который имеет более высокую точность, чем самый большой базовый формат, поддерживаемый для каждого основания b.
Для расширенного формата с точностью между двумя основными форматами диапазон экспоненты должен быть таким же большим, как у следующего более широкого базового формата. Так, например, 64-битное расширенное двоичное число с расширенной точностью должно иметь значение emax не менее 16383.
Форматы обмена предназначены для обмена данными с плавающей запятой с использованием битовой строки фиксированной длины.
Для обмена двоичными числами с плавающей запятой определены форматы обмена длиной 16 бит, 32 бита, 64 бита и любое кратное 32 битам ≥128. 16-разрядный формат предназначен для обмена или хранения небольших чисел (например, для графики или нейросетевых вычислений).
Схема кодирования этих двоичных форматов обмена такая же, как и для IEEE 754—1985: знаковый бит, за которым следуют индексы, которые описывают смещение экспоненты, и p-1 биты, которые описывают значение. Ширина поля экспоненты для k-битового формата вычисляется как w = round(4 log2(k))−13. Существующие 64- и 128-битные форматы следуют этому правилу, но 16- и 32-битные форматы имеют больше битов степени (5 и 8 битов соответственно), чем даёт эта формула (3 и 7 битов соответственно).
Как и в IEEE 754—1985, существует некоторая гибкость в кодировании NaN.
Для обмена десятичными числами с плавающей запятой определены форматы обмена для любого кратного 32 бита.
Стандарт определяет пять правил округления. Первые два правила округляют к ближайшему значению, другие называются направленными округлениями.
Режим / Пример | +11,5 | +12,5 | −11,5 | −12,5 |
---|---|---|---|---|
к ближайшему (привязка к четному) | +12,0 | +12,0 | −12,0 | −12,0 |
к ближайшему (привязка к бесконечности) | +12,0 | +13,0 | −12,0 | −13,0 |
к 0 | +11,0 | +12,0 | −11,0 | −12,0 |
к + ∞ | +12,0 | +13,0 | −11,0 | −12,0 |
к — ∞ | +11,0 | +12,0 | −12,0 | −13,0 |
Требуемые операции для поддерживаемого арифметического формата (включая базовые форматы) включают в себя:
Стандарт предоставляет предикат totalOrder, который определяет общий порядок для всех чисел с плавающей точкой для каждого формата. Предикат согласуется с обычными операциями сравнения. Однако обычные операции сравнения обрабатывают NaN как неупорядоченные и сравнивают −0 и +0 как равные. Предикат totalOrder будет упорядочивать эти случаи, и также различать различные представления NaN для одного и того же числа с плавающей запятой, закодированное различными способами.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.