Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
• Множество действительных чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ есть подкольцо поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида ${\displaystyle a+bi}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ целые (множество гауссовых целых чисел).
• Пусть ${\displaystyle U}$ — связное открытое подмножество комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тогда кольцо ${\displaystyle H(U)}$ всех голоморфных функций ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если ${\displaystyle K}$ — коммутативное кольцо, а ${\displaystyle I}$ — идеал в ${\displaystyle K}$, то факторкольцо ${\displaystyle K/I}$ целостное тогда и только тогда, когда ${\displaystyle I}$ — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — элементы целостного кольца ${\displaystyle K}$. Говорят, что «${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$» или «${\displaystyle a}$ — делитель ${\displaystyle b}$» (и пишут ${\displaystyle a\mid b}$), тогда и только тогда, когда существует элемент ${\displaystyle x\in K}$ такой, что ${\displaystyle ax=b}$.

Делимость транзитивна: если ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ делит ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle c}$. Если ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ делит также их сумму ${\displaystyle b+c}$ и разность ${\displaystyle b-c}$.

Для кольца ${\displaystyle K}$ с единицей делители единицы, то есть элементы ${\displaystyle a\in K}$, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в ${\displaystyle K}$ имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называются ассоциированными, если ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ делит ${\displaystyle a}$. ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ассоциированны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=be}$, где ${\displaystyle e}$ — обратимый элемент.

Ненулевой элемент ${\displaystyle q}$, не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент ${\displaystyle p}$ называется простым, если из того, что ${\displaystyle p\mid ab}$, следует ${\displaystyle p\mid a}$ или ${\displaystyle p\mid b}$. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если ${\displaystyle p}$ — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал ${\displaystyle (p)}$ будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение^[англ.] целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.