Туннелирование через прямоугольный барьер

Туннели́рование че́рез прямоуго́льный барье́р — квантовомеханический туннельный эффект в ситуации, когда потенциальный барьер ${\displaystyle U(x)}$ для частицы имеет прямоугольную форму, а именно ${\displaystyle U(x)=V=\,}$ const в области туннелирования ${\displaystyle 0<x<a}$.

Обычно подразумевается, что по обе стороны барьера ${\displaystyle U=0}$, что полная энергия частицы ${\displaystyle E}$ связана только с движением в направлении ${\displaystyle x}$ (нет движения в перпендикулярной плоскости ${\displaystyle yz}$) и что масса частицы ${\displaystyle m}$ неизменна.

Типичные значения параметров: ${\displaystyle V}$ — порядка электронвольта, ${\displaystyle a}$ — несколько нанометров, а туннелирующими частицами являются элементарные частицы (электроны и др.).

При анализе туннелирования ставится задача расчёта вероятности прохождения барьера ${\displaystyle T(E)}$ при однократном соударении частицы с ним. Прямоугольный барьер возникает как простейшее приближение для реальных барьеров, позволяющее получить несложное аналитическое решение.

Решение

Потенциальная энергия как функция координаты описывается функцией:
${\displaystyle U(x)={\begin{cases}0&{\text{если}}~x<0\\V&{\text{если}}~0<x<a\\0&{\text{если}}~a<x\end{cases}}}$

Прохождение волн де Бройля через прямоугольный потенциальный барьер высотой ${\displaystyle V_{0}}$ и шириной ${\displaystyle a}$ частицы с энергией ${\displaystyle E>V_{0}.}$

Частица, описываемая плоской волной, падает на границу барьера справа и частично отражается с амплитудой ${\displaystyle r.}$ Часть волны проходит через барьер с амплитудой вероятности ${\displaystyle t.}$ Выражения для волновой функции частицы в трёх областях в одномерном случае:

${\displaystyle \psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);}$

${\displaystyle \psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).}$

Здесь предполагается, что волновые вектора:

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}},}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m(V-E)}{\hbar ^{2}}}}.}$

Так как сами волновые функции на границах барьера и их первые производные не должны иметь разрывов, исходя из этого условия производится сшивка волновых функций и их производных на границах и получаются четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

${\displaystyle 1+r=A+B}$

${\displaystyle ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B}$

${\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a}}$

${\displaystyle k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.}$

Их решения:

${\displaystyle A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=2}$

${\displaystyle A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)}$

${\displaystyle B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)}$

${\displaystyle te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}}$

${\displaystyle t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)}}}$

${\displaystyle t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}},}$

откуда следует выражение для коэффициента прохождения:

${\displaystyle T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.}$

Примечание. В данном контексте можно рассмотреть ситуацию дельтообразного потенциала, описываемого дельта-функцией Дирака, ${\displaystyle U(x)=g\delta (x).}$ Это предельный случай прямоугольного барьера, стремящегося к бесконечно высокому и одновременно бесконечно узкому потенциалу (причём так, что произведение ${\displaystyle Va=g,}$ где ${\displaystyle g}$ — некая константа). Тогда получается ${\displaystyle T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E}})^{-1}.}$

Коэффициент прохождения для прямоугольного туннельного барьера. ${\displaystyle V=V_{0}.}$

Если энергия частицы выше барьера, то:

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}},}$

и получим другой результат:

${\displaystyle T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.}$

При ${\displaystyle E>V}$ коэффициент квантового прохождения в общем случае отличен от единицы, в отличие от классического случая. В этой области энергий имеют место немонотонности ${\displaystyle T(E).}$

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.