Тетракисгексаэдр

Тетракисгекса́эдр (от др.-греч. τετράχις — «четырежды», ἕξ — «шесть» и ἕδρα — «грань»), также называемый тетрагекса́эдром или преломлённым ку́бом, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому октаэдру. Составлен из 24 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{9}}\approx 83{,}62^{\circ },}$ а два других ${\displaystyle \arccos \,{\frac {2}{3}}\approx 48{,}19^{\circ }.}$

Тетракисгексаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы	24 грани 36 рёбер 14 вершин Χ = 2
Грани	равнобедренные треугольники:
Конфигурация вершины	6(34) 8(36)
Конфигурация грани	V4.6.6
Двойственный многогранник	усечённый октаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	kC
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 4 грани, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У тетракисгексаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра куба) и 24 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {4}{5}}\right)\approx 143{,}13^{\circ }.}$

Тетракисгексаэдр можно получить из куба, приложив к каждой его грани правильную четырёхугольную пирамиду с основанием, равным грани куба, и высотой, которая ровно в ${\displaystyle 4}$ раза меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 4 грани вместо каждой из 6 граней исходного — с чем и связано его название.

Тетракисгексаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь^[1].

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра тетракисгексаэдра имеют длину ${\displaystyle a}$, то его «длинные» рёбра имеют длину ${\displaystyle {\frac {4}{3}}a\approx 1{,}33a,}$ а площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}a^{2}\approx 11{,}9256959a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {32}{9}}a^{3}\approx 3{,}5555556a^{3}.}$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

${\displaystyle r={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}a\approx 0{,}8944272a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

${\displaystyle \rho ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0{,}9428090a.}$

Описать около тетракисгексаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

В координатах

Тетракисгексаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты ${\displaystyle (\pm 2;\;\pm 2;\;\pm 2),}$ ${\displaystyle (\pm 3;\;0;\;0),}$ ${\displaystyle (0;\;\pm 3;\;0),}$ ${\displaystyle (0;\;0;\;\pm 3).}$

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его вписанной и полувписанной сфер.

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Тетракисгексаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.