Соты (геометрия)
Из Википедии, свободной энциклопедии
Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.
Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.
Классификация
Суммиров вкратце
Перспектива
Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.
Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла[англ.] и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.
Однородные трёхмерные соты
Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве[1], называемых также архимедовыми сотами[англ.].
Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):
| Тип | Кубические соты | Квазиправильные соты |
|---|---|---|
| Ячейки | Кубические | Октаэдральные и тетраэдральные |
| Слой |  |
 |
Тетраэдрально-октаэдральные соты[англ.] и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[англ.] состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.
Заполняющие пространство многогранники
О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных[англ.] или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках[2].
Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:
- Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
- Шестиугольные призматические соты[3];
- Ромбододекаэдральные соты[англ.];
- Удлинённые додекаэдральные соты[англ.][4];
- Соты из глубокоусечённых кубов[англ.][5].
 Кубические соты |
 Шестиугольные призматические соты[англ.]* |
 Ромбододекаэдр[англ.] |
 Удлинённый ромбододекаэдр[англ.] |
 Усечённый октаэдр[англ.] |
| Куб (параллелепипед) |
Шестиугольная призма | Ромбододекаэдр | Удлинённый додекаэдр[англ.] | Усечённый октаэдр |
|---|---|---|---|---|
 |
 |
 |
 |
 |
| 3 длины рёбер | 3+1 длины рёбер | 4 длины рёбер | 4+1 длины рёбер | 6 длины рёбер |
Другие известные примеры:
- Треугольные призматические соты.
- Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
- Усечённые триакистетраэдральные соты[англ.]. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид[6].
- Трапецеидально-ромбические додекаэдральные соты[англ.][7].
- Простые изоэдричечкие мозаики[8].
Другие соты с двумя и более многогранниками
Иногда два[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана[англ.], заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата[10].
Структура Уэйра-Фелана[англ.] (с двумя типами ячеек)
Невыпуклые трёхмерные соты
Документированные примеры редки. Можно различить два класса:
- невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают упаковку[англ.] малые звёздчатые ромбические додекаэдры[англ.] как в кубе Ёсимото;
- мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.
Гиперболические соты
В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.
Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много однородных гиперболических сот[англ.].
Двойственность сот в трёхмерном пространстве
Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:
- ячеек на вершины.
- граней на рёбра.
Для правильных сот:
- Кубические соты самодвойственны.
- Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
- Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
- Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда[11].
Самодвойственные соты
Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n−2,4} самодвойственны.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.