Пространство столбцов

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы ${\displaystyle A}$ — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.

Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} }$ — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$ с компонентами из ${\displaystyle \mathbb {F} }$ является линейным подпространством координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {F} ^{m}}$. Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит ${\displaystyle \min(m,n)}$^[1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно^[2].

Обзор

Пусть ${\displaystyle A}$ — матрица размера ${\displaystyle m\times n}$.Тогда имеют место такие утверждения про её ранг ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$, где ${\displaystyle \operatorname {rowsp} A}$ и ${\displaystyle \operatorname {colsp} A}$ — её пространства столбцов и строк соответственно:

1. ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\dim \operatorname {rowsp} A=\dim \operatorname {colsp} A}$^[3],
2. ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$ равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде ${\displaystyle A}$,
3. ${\displaystyle \operatorname {rank} A}$ равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы ${\displaystyle A}$^[4].

Пространство столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов ${\displaystyle A}$. То есть, если ${\displaystyle A=[a_{1},\dots ,a_{n}]}$, то ${\displaystyle \operatorname {colsp} A=\operatorname {span} \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$, где ${\displaystyle \operatorname {span} S}$ — линейная оболочка ${\displaystyle S}$.

Действие матрицы ${\displaystyle A}$ на некоторый вектор ${\displaystyle x}$ может быть представлено как линейная комбинация столбцов ${\displaystyle A}$ с коэффициентами, соответствующими координатам ${\displaystyle x}$. Значит, ${\displaystyle Ax}$ всегда лежит в ${\displaystyle \operatorname {colsp} A}$. Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ или, в общем случае, над произвольным полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Пример

Дана матрицы ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

Её строки:

• ${\displaystyle r_{1}=[2,4,1,3,2]}$,
• ${\displaystyle r_{2}=[-1,-2,1,0,5]}$,
• ${\displaystyle r_{3}=[1,6,2,2,2]}$,
• ${\displaystyle r_{4}=[3,6,2,5,1]}$.

Следовательно, пространство строк матрицы ${\displaystyle J}$ это подпространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$, заданное как ${\displaystyle \operatorname {span} \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}}$. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору ${\displaystyle n=[6,-1,4,-4,0]}$, из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$, которые ортогональны вектору ${\displaystyle n}$.

Пространство столбцов

Определение

Пусть ${\displaystyle \mathbb {K} }$ — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ со столбцами ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$. Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

Где ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ — скаляры. Множество всех возможных комбинаций ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ называется пространством столбцов ${\displaystyle A}$. То есть, пространство столбцов ${\displaystyle A}$ — это линейная оболочка векторов ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$.

Любая линейная комбинация столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ может быть записана как умножение матрицы ${\displaystyle A}$ на некоторый вектор-столбец:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$

Таким образом, пространство столбцов ${\displaystyle A}$ состоит из всех возможных произведений ${\displaystyle Ax}$, где ${\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}$, что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример

Если ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}}$, то её столбцы это ${\displaystyle v_{1}=[1,0,2]^{T}}$ и ${\displaystyle v_{2}=[0,1,0]^{T}}$.

Линейная комбинация ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ — это любой вектор, имеющий следующий вид:

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,}$ Множество всех таких векторов образует пространство столбцов ${\displaystyle A}$. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов ${\displaystyle [x,y,z]\in \mathbb {R} ^{3}}$, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle z=2x}$.

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис

Столбцы матрицы ${\displaystyle A}$ порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём ${\displaystyle A}$ к ступенчатому виду по строкам:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$^[5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, ${\displaystyle v_{3}=-2v_{1}+v_{2}}$). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов ${\displaystyle A}$ эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы ${\displaystyle A^{T}}$. На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность

Основная статья: Ранг матрицы

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен ${\displaystyle 3}$.

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$ заданного матрицей выше отображает ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов^[6]. Ранг и размерность ядра матрицы ${\displaystyle A}$ c ${\displaystyle n}$ столбцами связаны уравнением:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\dim \ker(A)=n.\,}$

Связь с коядром

Коядро (левый аннулятор) матрицы ${\displaystyle A}$ это множество векторов ${\displaystyle \mathbf {x} }$ таких что ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=0^{T}}$. Коядро матрицы ${\displaystyle A}$ совпадает с ядром ${\displaystyle A^{T}}$. Произведение ${\displaystyle A^{T}}$ на ${\displaystyle \mathbf {x} }$ может быть записано в виде скалярных произведений векторов

${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

Потому что строки ${\displaystyle A^{T}}$ являются транспонированными столбцами ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ матрицы ${\displaystyle A}$. Поэтому ${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} =0}$ тогда и только тогда когда ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ортогонален ко всем столбцам ${\displaystyle A}$.

Отсюда следует, что коядро ${\displaystyle A}$ (ядро ${\displaystyle A^{T}}$) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов ${\displaystyle A}$.

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом ${\displaystyle \mathbb {K} }$ как:

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}$

Где ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {K} }$. Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ на скаляр ${\displaystyle c_{k}}$ таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр^[7].

См. также

• Евклидово пространство

Примечания

1. Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Lay (2005), Meyer (2001), и Strang (2005).
2. Anton (1987, p. 179)
3. Anton (1987, p. 183)
4. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)
5. В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.
6. Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.
7. Это важно только если ${\displaystyle \mathbb {K} }$ не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения ${\displaystyle A\mathbf {c} }$ матрицы ${\displaystyle A}$ на столбец ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {K} ^{n}}$, в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

Литература

См. также: Линейная алгебра § Литература

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивировано из оригинала 1 марта 2001 Архивная копия от 31 октября 2009 на Wayback Machine
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Row Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Column Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Гилберт Стрэнг, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces на Google Video от MIT OpenCourseWare
• Khan Academy video tutorial
• Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
• Row Space and Column Space