![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Impl-c-cass-123.svg/langru-640px-Impl-c-cass-123.svg.png&w=640&q=50)
Неявная кривая
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Неявная кривая — это плоская кривая, определённая уравнением в неявном виде, связывающим две координатные переменные, обычно обозначаемые x и y. Например, единичная окружность задаётся уравнением . В общем случае любая неявная кривая задаётся уравнением вида
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Impl-c-cass-123.svg/320px-Impl-c-cass-123.svg.png)
(1) a=1,1, c=1 (сверху),
(2) a=c=1 (в середине),
(3) a=1, c=1,05 (снизу)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Ic-raster13-s.svg/320px-Ic-raster13-s.svg.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Fl-sin-cos-nivk-s.svg/640px-Fl-sin-cos-nivk-s.svg.png)
для некоторой функции F от двух переменных. Следовательно, неявная функция может рассматриваться как множество нулей функции от двух переменных. «Неявная» означает, что равенство не выражает ни решение x от переменной y, ни наоборот.
Если функция является многочленом от двух переменных, соответствующая кривая называется алгебраической и для неё есть специфичные методы изучения.
Плоская кривая может быть представлена в декартовых координатах (координатах x, y) любым из трёх методов, одним из которых является уравнение в неявном виде, приведённое выше. Другой способ - описание графика функции равенством , в котором явно представлена функция - называется явным представлением. Третьим важным способом описания кривой является параметрическое описание, где координаты x и y точек кривой представлены двумя функциями x(t), y(t), обе в форме явного представления и зависящие от общего параметра
Примеры неявных кривых:
- прямая:
- окружность:
- Полукубическая парабола:
- Овалы Кассини
(см. рисунок),
(см. рисунок).
В первых четырёх примерах представлены алгебраические кривые, однако последняя кривая таковой не является. Первые три кривые являются простым параметрическим представлением, в отличие от четвёртого и пятого примеров. Пятый пример показывает возможность сложной геометрической структуры неявной кривой.
Теорема о неявной функции описывает условия, при которых равенство может быть решено неявно по x и/или по y, т. е. при условиях, при которых можно правомерно записать
или
. Эта теорема является ключевым фактором для вычисления важных геометрических свойств кривой — касательных, нормалей и кривизны. На практике неявные кривые имеют существенный изъян — их визуальное представление нередко затруднительно. Однако существуют компьютерные программы, позволяющие нарисовать неявную кривую.
Неявная кривая с уравнением может рассматриваться как множество уровня со значением 0 для поверхности
(см. третий рисунок).