Неравенство Йенсена

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком

Формулировки

Сумматорный вариант неравенства

Пусть функция ${\displaystyle f}$ является выпуклой на некотором интервале ${\displaystyle I}$ и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ (веса) таковы, что $${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}$$ и ${\displaystyle q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1.}$ Тогда каковы бы ни были числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ из ${\displaystyle I}$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена: $${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leqslant q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n}),}$$ или $${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i}).}$$

Замечания:

• Если функция ${\displaystyle f(x)}$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю ${\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}$: $${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leqslant {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.}$$

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Доказательство

Доказательство проводится методом математической индукции.

• Для ${\displaystyle n=2}$ неравенство следует из определения выпуклой функции как функции, надграфик которой является выпуклым множеством, и, следовательно, хорда, стягивающая точки ${\displaystyle {\big (}x_{1},f(x_{1}){\big )}}$ и ${\displaystyle {\big (}x_{2},f(x_{2}){\big )}}$, лежит выше графика. Неравенство Йенсена означает это соотношение для точек графика и хорды, абсциссы которых равны ${\displaystyle q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}}$.
• Допустим, что неравенство верно для какого-либо натурального числа ${\displaystyle n}$, докажем, что оно верно и для ${\displaystyle n+1}$, то есть $${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1})\leqslant q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1}).}$$ С этой целью заменим слева сумму двух последних слагаемых ${\displaystyle q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})}$ одним слагаемым $${\displaystyle (q_{n}+q_{n+1})\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}f(x_{n})+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}f(x_{n+1})\right);}$$ это даст возможность воспользоваться неравенством для ${\displaystyle n}$ и установить, что выражение выше не превосходит суммы $${\displaystyle q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{n+1})f\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right).}$$ Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для ${\displaystyle n=2}$. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Геометрическая интерпретация

Точка ${\displaystyle {\Big (}\sum \limits _{i=1}^{n}q_{i}x_{i};\sum \limits _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i}){\Big )}}$ является выпуклой комбинацией ${\displaystyle n}$ точек ${\displaystyle {\big (}x_{1},f(x_{1}){\big )},{\big (}x_{2},f(x_{2}){\big )},\dots ,{\big (}x_{n},f(x_{n}){\big )}}$ плоскости, лежащих на графике функции ${\displaystyle f}$. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции ${\displaystyle f}$, а это и означает, что ${\displaystyle f{\Big (}\sum \limits _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}{\Big )}\leqslant \sum \limits _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}$.

Интегральная формулировка

Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — выпуклая функция, ${\displaystyle \mu }$ — вероятностная мера, а функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \varphi (f)}$ интегрируемы. Тогда^[1] $${\displaystyle \varphi \left(\int f\,d\mu \right)\leqslant \int \varphi (f)\,d\mu .}$$

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид $${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leqslant {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi {\big (}f(x){\big )}\,dx.}$$

Вероятностная формулировка

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство, и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, то $${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)],}$$ где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда $${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)\mid {\mathcal {G}}],}$$ где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot \mid {\mathcal {G}}]}$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Частные случаи

Неравенство Гёльдера

Пусть ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}}$ — положительные числа, ${\displaystyle p,q>1}$, причём ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$. Тогда $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant {\Big (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}{\Big )}^{\frac {1}{p}}{\Big (}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}{\Big )}^{\frac {1}{q}}.}$$

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Пусть ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ (вогнутая функция). Имеем: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln x_{i}\leqslant \ln {\Big (}\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}{\Big )},}$$ или $${\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q_{i}}\leqslant \ln \sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}.}$$ Потенцируя, получаем неравенство $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q_{i}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}.}$$ В частности, при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического): $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}.}$$

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

Пусть ${\displaystyle f(x)=x\ln x}$ (выпуклая функция). Имеем: $${\displaystyle {\Big (}\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}{\Big )}\ln {\Big (}\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}{\Big )}\leqslant \sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\ln x_{i}.}$$ Положив $${\displaystyle q_{i}={\frac {\dfrac {1}{x_{i}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{x_{i}}}}}}$$ и потенцируя, получаем: $${\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\dfrac {1}{x_{n}}}}}\leqslant (x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{1/n}}$$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического).

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

Пусть ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ (выпуклая функция). Имеем: $${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}.}$$ В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического: $${\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\dfrac {1}{x_{n}}}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}.}$$

См. также

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера