Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

Определение

Три типа конечных разностей.

Пусть для некоторой точки ${\displaystyle x_{0}}$ задано ${\displaystyle n+1}$ узлов интерполяции ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n}$ с шагом ${\displaystyle h=\mathrm {const} }$ и известны значения функции ${\displaystyle f}$ в этих узлах:

${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.}$

Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-м и ${\displaystyle k}$-м значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть^[1]

${\displaystyle \Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-1.}$

Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между ${\displaystyle k}$-м и ${\displaystyle (k-1)}$-м значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть^[1]

${\displaystyle \nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n.}$

Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-м и ${\displaystyle (k-1)}$-м значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть^[1]

${\displaystyle \delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n-1.}$

Разности высших порядков

Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-ой и ${\displaystyle k}$-ой конечными разностями 1-го порядка, то есть

${\displaystyle \Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2})-2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.}$

Соответственно, восходящей конечной разностью порядка ${\displaystyle m}$ (для ${\displaystyle m\leq n}$) называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-ой и ${\displaystyle k}$-ой конечными разностями порядка ${\displaystyle m-1}$, то есть^[1]

${\displaystyle \Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,n-m.}$

Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков^[1]:

${\displaystyle \nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),}$

${\displaystyle \delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).}$

Через операторы

Если ввести оператор смещения ${\displaystyle \operatorname {E} }$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {E} y_{k}=y_{k+1}}$, то можно определить оператор восходящей конечной разности ${\displaystyle \Delta }$ как ${\displaystyle \operatorname {E} -1}$. Для него справедливо соотношение

${\displaystyle \Delta ^{k}=(\operatorname {E} -1)^{k}}$,

которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления ${\displaystyle \Delta }$ заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков^[2].

Общие формулы

Часто также используется другое обозначение: ${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)}$ — восходящая конечная разность порядка ${\displaystyle m}$ от функции ${\displaystyle f}$ c шагом ${\displaystyle h}$, взятая в точке ${\displaystyle x}$. Например, ${\displaystyle \Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)}$. Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение ${\displaystyle \nabla _{h}^{m}(f,x)}$, а для центральных — ${\displaystyle \delta _{h}^{m}(f,x)}$.

В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов^[3]:

${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

${\displaystyle \nabla _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x-ih),}$

${\displaystyle \delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\left(x+\left({\frac {m}{2}}-i\right)h\right).}$

Общая формула для ${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)}$ используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.

Пример

Пример вычисления конечных разностей

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3,\\h&=&1.\end{array}}}$

В зелёных клетках расположены значения ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{n}}$, в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.

Связь с производными

Производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ определяется с помощью предела:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Под знаком предела стоит восходящая конечная разность ${\displaystyle \Delta _{h}^{1}(f,x)}$, делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора^[4]:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.}$

Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:

${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.}$

Центральная разность даёт более точное приближение:

${\displaystyle {\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{2h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right),\;h\to 0.}$

Конечные разности порядка ${\displaystyle m}$, делённые на шаг, возведённый в степень ${\displaystyle m}$, аппроксимируют производную порядка ${\displaystyle m}$. Порядок погрешности приближения при этом не меняется^[5]:

${\displaystyle {\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\left(h^{2}\right).}$

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Примечания

1. Бахвалов и др., 2011, с. 65.
2. Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 669—670.
3. Бахвалов и др., 2011, с. 66.
4. Бахвалов и др., 2011, с. 81.
5. Бахвалов и др., 2011, с. 82.

Литература

• Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М. Численные методы . — 7-е изд.. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 636 с. — ISBN 978-5-9963-0449-3.
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

См. также

• Коэффициенты формул численного дифференцирования
• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения
• Метод конечных разностей
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Разделенная разность
• Биномиальные преобразования