Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.}$

В то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах на 2023 год неизвестно^[1].

История

Еще Платону было известно, что сумма кубов сторон пифагорейского треугольника также является кубом ${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$^[2], о чем он упоминает в своем «Государстве»^[3].

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}}$

${\displaystyle 3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}}$

${\displaystyle 7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}}$

${\displaystyle 18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}}$

${\displaystyle 2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}}$

${\displaystyle 6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}}$

${\displaystyle 16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}}$

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

${\displaystyle -1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}}$

${\displaystyle -2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}}$

${\displaystyle -2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}}$

${\displaystyle -2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}}$

${\displaystyle -3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}}$

Полные рациональные параметризации

Г. Харди и Райт (1938)^[4][5]

• ${\displaystyle x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}}$

  ${\displaystyle y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}}$

  ${\displaystyle z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}$

  ${\displaystyle w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}$

Н. Элкис^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}}$

Другие серии решений

Леонард Эйлер, 1740 год

• ${\displaystyle x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})}$

  ${\displaystyle y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})}$

  ${\displaystyle z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}$

  ${\displaystyle w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}$

Линник, 1940 год

• ${\displaystyle x=b(a^{6}-b^{6})}$

  ${\displaystyle y=a(a^{6}-b^{6})}$

  ${\displaystyle z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})}$

  ${\displaystyle w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})}$

• ${\displaystyle x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}}$

  ${\displaystyle y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}}$

  ${\displaystyle z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}}$

  ${\displaystyle w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}}$

• ${\displaystyle x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}}$

  ${\displaystyle y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}}$

  ${\displaystyle z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}}$

  ${\displaystyle w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}}$

Роджер Хит-Браун, 1993 год^[6]

• ${\displaystyle x=9a^{4}}$

  ${\displaystyle y=3a-9a^{4}}$

  ${\displaystyle z=1-9a^{3}}$

  ${\displaystyle w=1}$

Морделл, 1956 год

• ${\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}$

  ${\displaystyle y=9a^{4}}$

  ${\displaystyle z=-b^{4}}$

  ${\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}$

• ${\displaystyle x=9a^{3}b-b^{4}}$

  ${\displaystyle y=9a^{4}-3ab^{3}}$

  ${\displaystyle z=b^{4}}$

  ${\displaystyle w=9a^{4}}$

• ${\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}$

  ${\displaystyle y=9a^{3}b-b^{4}}$

  ${\displaystyle z=9a^{4}-3ab^{3}}$

  ${\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}$

Решение, полученное методом алгебраической геометрии

• ${\displaystyle x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)-9}$

  ${\displaystyle y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a}$

  ${\displaystyle z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9}$

  ${\displaystyle w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)}$

Рамануджан

• ${\displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}}$

  ${\displaystyle y=4a^{2}-4ab+6b^{2}}$

  ${\displaystyle z=5a^{2}-5ab-3b^{2}}$

  ${\displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}$

• ${\displaystyle x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})}$

  ${\displaystyle y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}}$

  ${\displaystyle z=a^{6}-1-3b-3b^{2}}$

  ${\displaystyle w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)}$

• ${\displaystyle x=-a^{2}+9ab+b^{2}}$

  ${\displaystyle y=a^{2}+7ab-9b^{2}}$

  ${\displaystyle z=2a^{2}-4ab+12b^{2}}$

  ${\displaystyle w=2a^{2}+10b^{2}}$

Неизвестный автор, 1825 год

• ${\displaystyle x=a^{9}-3^{6}}$

  ${\displaystyle y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}}$

  ${\displaystyle z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}}$

  ${\displaystyle w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a}$

Д. Лемер, 1955 год

• ${\displaystyle x=3888a^{10}-135a^{4}}$

  ${\displaystyle y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a}$

  ${\displaystyle z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1}$

  ${\displaystyle w=1}$

В. Б. Лабковский

• ${\displaystyle x=4b^{2}-11b-21}$

  ${\displaystyle y=3b^{2}+11b-28}$

  ${\displaystyle z=5b^{2}-7b+42}$

  ${\displaystyle w=6b^{2}-7b+35}$

Харди и Райт

• ${\displaystyle x=a(a^{3}-2b^{3})}$

  ${\displaystyle y=b(2a^{3}-b^{3})}$

  ${\displaystyle z=b(a^{3}+b^{3})}$

  ${\displaystyle w=a(a^{3}+b^{3})}$

• ${\displaystyle x=a(a^{3}-b^{3})}$

  ${\displaystyle y=b(a^{3}-b^{3})}$

  ${\displaystyle z=b(2a^{3}+b^{3})}$

  ${\displaystyle w=a(a^{3}+2b^{3})}$

Г. Александров, 1972 год

• ${\displaystyle x=7a^{2}+17ab-6b^{2}}$

  ${\displaystyle y=42a^{2}-17ab-b^{2}}$

  ${\displaystyle z=56a^{2}-35ab+9b^{2}}$

  ${\displaystyle w=63a^{2}-35ab+8b^{2}}$

• ${\displaystyle x=7a^{2}+17ab-17b^{2}}$

  ${\displaystyle y=17a^{2}-17ab-7b^{2}}$

  ${\displaystyle z=14a^{2}-20ab+20b^{2}}$

  ${\displaystyle w=20a^{2}-20ab+14b^{2}}$

• ${\displaystyle x=21a^{2}+23ab-19b^{2}}$

  ${\displaystyle y=19a^{2}-23ab-21b^{2}}$

  ${\displaystyle z=18a^{2}+4ab+28b^{2}}$

  ${\displaystyle w=28a^{2}+4ab+18b^{2}}$

• ${\displaystyle x=3a^{2}+41ab-37b^{2}}$

  ${\displaystyle y=37a^{2}-41ab-3b^{2}}$

  ${\displaystyle z=36a^{2}-68ab+46b^{2}}$

  ${\displaystyle w=46a^{2}-68ab+36b^{2}}$

• ${\displaystyle x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}}$

  ${\displaystyle y=36a^{2}-22ab+b^{2}}$

  ${\displaystyle z=40a^{2}-40ab+12b^{2}}$

  ${\displaystyle w=48a^{2}-40ab+10b^{2}}$

Аджай Чоудхри, 1998 год^[7]

• ${\displaystyle dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b)c^{3},}$

  ${\displaystyle dx_{2}=-\{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(a-b)c^{3}\},}$

  ${\displaystyle dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),}$

  ${\displaystyle dx_{4}=-\{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}\},}$

где числа ${\displaystyle a,b,c}$ — произвольные целые, а число ${\displaystyle d\neq 0}$ выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1}$.

Коровьев, 2012 год

• ${\displaystyle x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}$

  ${\displaystyle y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}$

  ${\displaystyle z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}$

  ${\displaystyle w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}$

где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\,,\,c}$ и ${\displaystyle d}$ — любые целые числа^[8].

См. также

• Гипотеза Эйлера
• Сумма трёх кубов

Примечания

1. Cohen, Henri^[англ.]. 6.4 Diophantine Equations of Degree 3 // Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations (англ.). — Springer-Verlag, 2007. — Vol. 239. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-49922-2.
2. Перельман Я.И. Занимательная алгебра / Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского.. — Издание одиннадцатое. — Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1967. — С. 120—121. — 200 с.
3. Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — АСТ, 2015. — С. 110. — ISBN 978-5-17-094497-2.
4. An introduction to the theory of numbers (англ.). — First ed.. — Oxford: Oxford University Press, 1938.
5. Цитата из раздела "1.3.7 Уравнение ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=t^{3}}$" из книги Харди и Райта
6. Источник  (неопр.). Дата обращения: 20 августа 2013. Архивировано 21 января 2022 года.
7. Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Архивная копия от 21 июля 2020 на Wayback Machine. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251-1257.
8. Во многих случаях числа ${\displaystyle x,y,z,w}$ имеют общие делители. Чтобы получить примитивную четверку чисел, достаточно сократить каждое из чисел на их наибольший общий делитель.

Литература

• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• В. Серпинский. §15. Решение уравнений в рациональных числах // О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• E. Rowland. Known families of integer solutions to ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ (англ.) : journal. Архивировано 27 сентября 2013 года.
• Решение Лабковского (Задание №2)
• Сизый С. В. 20. Сравнения любой степени по простому модулю // Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.