В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории кос. См. также глоссарий теории узлов. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.
Диаграмма, при движении вдоль каждой компоненты которой проходы чередуются с переходами. Или, что то же самое, диаграмма, любая дуга которой является мостом единичной длины.
1. Такое непрерывноеинъективное отображение дизъюнктного объединения конечного числа отрезков в подмножество трёхмерного евклидова пространства, ограниченное двумя параллельными плоскостями и , что последняя координата образа каждой точки совпадает с её координатой на содержащем её отрезке, т. е. , где и , причем функция отображает начало отрезка с номером в точку , а объединение концов таких отрезков — в множество .
2. Образ подобного отображения. Иными словами, подмножество пространства , гомеоморфное дизъюнктному объединению конечного числа отрезков и пересекающее каждую плоскость , где , по ровно точкам, причем пересечение с равно , а пересечение с равно [6].
Также используется термин геометрическая коса из нитей.
Также используются термины марковское движение и преобразование Маркова[9].
Диаграмма
1. Подмножество евклидовой плоскости , получающееся из некоторой регулярной плоской проекции определёнными разрывами в её двойных точках[10]. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют проход или нижняя ветвь, а оставшуюся — переход или верхняя ветвь[11].
Две геометрические косы из одинакового числа нитей называются изотопными, если выполняется одно из следующих эквивалентных[10][17] условий:
Существует объемлющая изотопия, переводящая первую геометрическую косу во вторую.
Между соответствующими отображениями существует такая гомотопия, параметризованная числом , что , и для каждого отображение является геометрической косой.
Между соответствующими отображениями существует такая гомотопия , параметризованная числом , что , и для каждого отображение является инъективным, причем и .
Инвариант
Произвольная функция, действующая из множества кос. Или, что то же самое, функция, действующая из множества геометрических кос, принимающая одинаковые значения на изотопных элементах.
2. Пространство неупорядоченных наборов различных точек топологического пространства :
,
где , если .
Короткое замыкание
Определённое отображение из множества всех кос в множество зацеплений[20] (от англ.short-circuit — короткое замыкание). Также используется термин замыкание Стенфорда — Мостового.
Целочисленная характеристика косы из нитей, заданная для таких и , что , и равная разности между количеством положительных и отрицательных перекрёстков между нитями с номерами и на любой диаграмме этой косы. Является инвариантом.
Крашеная коса
Коса, начало и конец каждой её нити которой расположены на одном уровне[21]. Или, что то же самое, коса, чья перестановка является тождественной[22].
Начало нити — её точка пересечения с плоскостью . Конец нити — её точка пересечения с плоскостью . Номер нити — натуральное число такое, что её началом является точка .
Количество нитей косы, также известное как её индекс[3], является инвариантом.
Также используется термин компонента косы.
Объемлющая изотопия
Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов, параметризованное числом , что — тождественное отображение, а каждый гомеоморфизм тождествен на объединении . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение , заданное правилом , является непрерывным.
Путь, заданный формулой , называется траекторией движения точки под действием объемлющей изотопии .
Говорят, что объемлющая изотопия переводит подмножество в подмножество , если .
2. Аналогично определению выше, но перекрёсток предполагается положительным.
Символом обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами и образуют положительный перекрёсток, а символом обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами и образуют отрицательный перекрёсток.
В случае кос также используется термин положительная образующая Артина, а в случае кос — обратная или отрицательная образующая Артина. Также используются термины элементарная коса[25][26] и артиновская образующая[27].
Диаграмма, заданная артиновским словом, в котором отсутствуют образующие Артина с одинаковыми индексами и противоположными типами: и . Иными словами, словом, в которое образующие Артина входят с одним и тем же знаком (только положительным или только отрицательным).
1. Участок диаграммы, полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной плоской проекции.
2. То же, что и двойная точка регулярной плоской проекции.
Каждый перекрёсток имеет один из двух типов. Положительный перекрёсток — такой, что его нижняя ветвь (проход) указывает налево от его верхней ветви (перехода) относительно ориентации нитей, ведущих от их начала к концу. Отрицательный перекрёсток — противоположное понятие.
Определённое отображение из множества всех кос в множество зацеплений (от англ.plat — плетение).
Плоская изотопия
Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов, параметризованное числом , что — тождественное отображение, а каждый гомеоморфизм тождествен на объединении . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение , заданное правилом , является непрерывным.
Путь, заданный формулой , называется траекторией движения точки под действием плоской изотопии .
Говорят, что плоская изотопия переводит подмножество в подмножество , если .
Ветвь плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрической косы.
Кратностью или порядком точки на плоской проекции называется мощность её прообраза относительно ортогональной проекции . Плоская проекция называется регулярной, если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой трансверсальное пересечение.
Диаграмма, каждый перекрёсток которой является положительным. Иными словами, диаграмма, заданная артиновским словом в положительных образующих Артина[34][19].
Диаграмма, заданная таким непустым артиновским словом, что образующая Артина с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом входит в него только в положительных степенях[35].
Также используются термины -положительная диаграмма и D-положительная диаграмма[36].
Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную) из множества геометрических кос в себя.
Преобразование диаграмм
Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную) из множества всех диаграмм в себя. Обычно задаётся в терминах представляющих данные диаграммы артиновских слов.
Преобразование замкнутых кос
Произвольная геометрическая процедура, проводимая над представителями замкнутых кос и задающая функцию (возможно, многозначную) из множества замкнутых кос в себя.
Преобразование кос
Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями кос и задающая функцию (возможно, многозначную) из множества кос в себя.
Произведение кос
Определённая бинарная операция на множестве всех кос из одинакового числа нитей[10]. Произведением геометрических кос из нитей называется геометрическая коса из нитей, состоящая из таких точек , что , если , и , если . Произведением кос и называется коса, заданная произведением любых их геометрических представителей, которая обозначается символом .
Разводимая коса
Коса, которая имеет геометрического представителя, лежащего по разные стороны от некоторой полосы вида , где . Или, что то же самое, записывается артиновским словом, в котором хотя бы одна из образующих Артина отсутствует вместе со своей обратной.
Два артиновских слова представляют изотопныедиаграммы в том и только в том случае, если одну можно получить из другой применением конечной последовательности таких соотношений.
Также используются термины дальняя коммутативность[43] и соотношение коммутативности для отдалённых кос[41].
Сопряжение
Преобразование кос, заключающееся в переходе от косы к косе , где — некоторая коса с тем же числом нитей, а символ обозначает обратную косу. Также используется термин сопряжение косой.
Косы называются сопряженными, если одну можно получить из другой сопряжением некоторой косой. Сопряженность — соответствующее отношение эквивалентности на множестве всех кос.
Также используются термины первое движение Маркова[7] и первое преобразование Маркова[9].
Стабилизация
1. Определённое преобразование кос. Положительная стабилизация — переход от косы из нитей к косе из нитей, где — образующая Артина. Отрицательная стабилизация — аналогичный переход от косы к косе .
Определённая бинарная операция на множестве всех кос, заключающаяся в параллельном приставлении одной косы к другой[44]. Тензорным произведением геометрических кос из и нитей, расположенных в и , называется геометрическая коса из нитей, состоящая из таких точек , что , если , и , если . Тензорным произведением кос называется коса, заданная тензорным произведением любых их геометрических представителей с указанными выше свойствами.
Тень диаграммы
Образ ортогональной проекции, соответствующей диаграмме.
Тривиальная коса
Коса, которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
Также используется термин полный оборот нитей[45].
Экспоненциальная сумма
Целочисленная характеристика косы, равная разности между количеством положительных и отрицательных перекрёстков на любой диаграмме этой косы. Является инвариантом.
Элементарная изотопия
Преобразованиеполигональных кос, заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) на два звена и , а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что треугольник не пересекает остальные звенья полигональной косы по своей внутренности или границе[46].
Также используется термин элементарное преобразование.
Мантуров, В. О..Теория узлов(рус.).— Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.— 512с.— ISBN 5-93972-404-3.
Матвеев, С. В., Фоменко, А. Т.Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии(рус.).— 2.— М.: Наука, 1998.— 304с.— (Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения).— ISBN 5-02-013655-7.