Алгоритм Бернштейна — Вазирани

Алгоритм Бернштейна — Вазирани (англ. Bernstein–Vazirani algorithm) — квантовый алгоритм, решающий задачу нахождения ${\displaystyle n}$-битного числа (в иностранной литературе также употребляется термин скрытая строка^[1]), скрытого в черном ящике. Предложен Итаном Бернштейном и Умешем Вазирани в 1993 году➤. Данный алгоритм решает поставленную задачу значительно быстрее, чем это возможно в неквантовой постановке➤. Алгоритм может применяться в базах данных, атаках на блочные шифры, тестах производительности для квантовых компьютеров➤, был реализован на 5- и 16-кубитных квантовых компьютерах IBM➤.

История

Алгоритм предложен профессором Калифорнийского университета в Беркли Умешем Вазирани^[англ.] и его студентом Итаном Бернштейном. При описании алгоритма современные источники, как правило, ссылаются на выступление Бернштейна и Вазирани^[2] на симпозиуме по теории вычислений^[англ.] в 1993 году^[3]. Алгоритм Бернштейна — Вазирани является расширенной версией алгоритма Дойча — Йожи, поскольку вместо определения принадлежности функции к определённому классу — сбалансированная или постоянная (то есть принимает либо значение 0, либо 1 при любых аргументах) — алгоритм находит «спрятанный» вектор, позволяющий однозначно определить значение функции в любой точке^[4].

Алгоритм Бернштейна — Вазирани демонстрирует в решаемой им задаче зазор между классическими и квантовыми алгоритмами по наименьшему требуемому количеству запросов к оракулу (чёрному ящику). Даже если разрешить использование вероятностных алгоритмов (с заранее ограниченной вероятностью ошибки), решение классической задачи потребует ${\displaystyle O(n)}$ обращений к оракулу, в то время как в квантовом алгоритме достаточно ${\displaystyle O(1)}$ обращений к нему^[5].

Постановка задачи Бернштейна — Вазирани

Классическая задача

Рассмотрим оракул, преобразующий ${\displaystyle n}$-битное число в один бит, то есть ${\displaystyle f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}}$.

Причём ${\displaystyle f(x)=a\cdot x}$, где ${\displaystyle \cdot }$ — скалярное произведение вида: ${\displaystyle x\cdot y=x_{1}y_{1}\oplus x_{2}y_{2}\oplus ...\oplus x_{n}y_{n}}$. Считаем, что один вызов функции ${\displaystyle f}$ осуществляется за константное время.

Требуется найти ${\displaystyle a}$^[1].

Квантовая задача

Постановка задачи в квантовой модели похожая, но доступ к оракулу в ней осуществляется не напрямую через функцию ${\displaystyle f}$, а через линейный оператор ${\displaystyle U_{f}}$, действующий на систему из ${\displaystyle n+1}$ кубита:

${\displaystyle U_{f}=\sum _{x\in \{0,1\}^{n},y\in \{0,1\}}|x\rangle \langle x|\otimes |y\oplus f(x)\rangle \langle y|}$,

где ${\displaystyle |x\rangle }$ — кет-вектор, соответствующий квантовому состоянию ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \langle x|}$ — бра-вектор, соответствующий квантовому состоянию ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \otimes }$ — произведение Кронекера, ${\displaystyle \oplus }$ — сложение по модулю 2.

Квантовым состояниям ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ соответствуют векторы ${\textstyle |0\rangle ={\binom {1}{0}}}$ и ${\textstyle |1\rangle ={\binom {0}{1}}}$. Вектор для совместного состояния ${\displaystyle x_{1}x_{2}\dots x_{n}}$ может быть представлен как произведение ${\displaystyle |x_{1}x_{2}\dots x_{n}\rangle =|x_{1}\rangle \otimes |x_{2}\rangle \otimes \dots \otimes |x_{n}\rangle }$^[6].

Аналогично классическому случаю, предполагается, что обращение к оракулу, вычисляющему результат применения оператора ${\displaystyle U_{f}}$ к входящей системе из ${\displaystyle n+1}$ кубита, выполняется за константное время.

В квантовом случае, как и в классическом, предполагается, что ${\displaystyle f(x)=a\cdot x}$, и требуется найти ${\displaystyle a}$^[1].

Алгоритм

Классическая задача

В классическом случае при каждом вызове оракула возвращается один бит числа ${\displaystyle a}$, поэтому чтобы найти ${\displaystyle n}$-битное число ${\displaystyle a}$, нужно вызвать оракул ${\displaystyle n}$ раз. Ниже приведён вариант ${\displaystyle n}$ обращений к оракулу, позволяющих целиком восстановить ${\displaystyle a}$^[1]:

${\displaystyle f(1000...0_{n})=a_{1}}$

${\displaystyle f(0100...0_{n})=a_{2}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle f(0000...1_{n})=a_{n}}$

Количество обращений к оракулу в классическом случае равно ${\displaystyle O(n)}$, где ${\displaystyle n}$ — количество бит числа ${\displaystyle a}$. Несложными теоретико-информационными рассуждениями можно показать, что эта оценка не улучшаема даже в рамках класса BPP^[1].

Квантовый алгоритм

В основу алгоритма положен n-кубитный оператор Адамара:

${\textstyle H^{\otimes n}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \limits _{x,y\in \{0,1\}^{n}}{{(-1)}^{x\cdot y}|y\rangle \langle x|}}$

А также тот факт, что применение оператора ${\textstyle U_{f}}$ к состоянию вида ${\textstyle |x\rangle |-\rangle =|x\rangle \otimes |-\rangle }$, где ${\textstyle |-\rangle ={\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ даёт в результате величину ${\textstyle U_{f}(|x\rangle |-\rangle )=(-1)^{f(x)}|x\rangle |-\rangle }$^[1].

По шагам работа алгоритма может быть представлена следующим образом^[1]:

1. На первом шаге оператор Адамара ${\displaystyle H^{\otimes {(n+1)}}}$ применяется к ${\displaystyle (n+1)}$-кубитному состоянию ${\displaystyle |0\rangle ^{n}|1\rangle }$, состоящего из основного состояния ${\displaystyle |0\rangle ^{n}}$ и вспомогательного бита^[англ.] ${\displaystyle |1\rangle }$:
   ${\textstyle |0\rangle ^{n}|1\rangle {\xrightarrow {H^{\otimes {(n+1)}}}}{\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \limits _{x\in \{0,1\}^{n}}|x\rangle |-\rangle }$;
2. Затем к результату предыдущего шага применяется оператор ${\displaystyle U_{f}}$:
   ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \limits _{x\in \{0,1\}^{n}}|x\rangle |-\rangle {\xrightarrow {~U_{f}~}}{\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \limits _{x\in \{0,1\}^{n}}{(-1)}^{f(x)}|x\rangle |-\rangle }$;
3. После чего к первым ${\displaystyle n}$ кубитам результата применяется ${\displaystyle H^{\otimes (n)}}$, что, с учётом того, что ${\displaystyle f(x)=a\cdot x}$, даёт^[4]:
   ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum \limits _{x\in \{0,1\}^{n}}{(-1)}^{a\cdot x}|x\rangle |-\rangle {\xrightarrow {~H^{\otimes (n)}~}}{\frac {1}{2^{n}}}\sum \limits _{x,y\in \{0,1\}^{n}}{(-1)}^{(a\cdot x)\oplus (x\cdot y)}|y\rangle |-\rangle \sim |a\rangle |-\rangle }$.

В результате измерение входного регистра даст значение ${\displaystyle |a\rangle }$^[1]. Таким образом, в квантовой постановке задачи достаточно ${\displaystyle O(1)}$ обращений к оракулу. В общем случае построение и использование оракула требует ${\displaystyle O(4^{n})}$ логических элементов, но это не учитывается при анализе алгоритма в данной модели, так как значимым для неё является только число обращений к оракулу^[1]. Алгоритм в таком виде был реализован на 5- и 16-кубитных компьютерах IBM^[1], также возможно собрать оптическую cистему, реализующую алгоритм^[7].

Реализация алгоритма на компьютерах IBM

В любой практической реализации алгоритма Бернштейна — Вазирани основную сложность составляет создание оракула, так как построение и использование оракула требует ${\displaystyle O(4^{n})}$ логических элемента.^[1]

Кроме сложности построения оракула, практической реализации сопутствуют проблемы с точностью. Тестирование системы проводилось на 1-, 2- и 3-битных строках, на которых симулятор IBM-Qiskit^[англ.] выдавал правильный ответ со 100 % точностью. Затем было проведено тестирование 1- и 2-битных строк на 5-кубитной машине ibmqx4 и 16-кубитной ibmqx5, где были зафиксированы ошибки вычислений и сильное отклонение от ожидаемого результата^[1].

Практическое применение

Алгоритм Бернштейна — Вазирани может применяться:

1. В базах данных^[8]. С помощью алгоритма доступ к нужным данным теоретически можно получить значительно быстрее, чем в классическом случае.
2. В атаке на блочный шифр^[9]. Алгоритм Бернштейна — Вазирани предоставляет несколько новых, более совершенных, чем в классическом случае, способов атаки на блочный шифр.
3. В тесте производительности для квантовых компьютеров^[10]. Алгоритм используется в качестве теста производительности для 11-кубитного квантового компьютера.

Примечания

1. Coles et al, 2018, p. 10—13.
2. Ethan Bernstein, Umesh Vazirani. Quantum Complexity Theory // Proceedings of the Twenty-fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — New York, NY, USA: ACM, 1993. — С. 11–20. — ISBN 978-0-89791-591-5. — doi:10.1145/167088.167097.
3. Hidary, 2019, p. 104—107.
4. Sevag Gharibian. Lecture 7: The Deutsch-Josza and Berstein-Vazirani algorithms (англ.) // Introduction to Quantum Computation Summer 2018, University of Paderborn. — P. 1—10.
5. Hidary, 2019, p. 12—13.
6. Coles et al, 2018, p. 4.
7. P. Londero, K. Banaszek, I. A. Walmsley, C. Dorrer, M. Anderson. Efficient optical implementation of the Bernstein-Vazirani algorithm (англ.) // Physical Review A. — 2004. — Т. 69, вып. 1. — С. 010302–010302.4. — ISSN 1050-2947. — doi:10.1103/PhysRevA.69.010302.
8. А.А. Ежов. Некоторые проблемы квантовой нейротехнологии (рус.) // Научная сессия МИФИ–2003. V всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика–2003»: лекции по нейроинформатике. Часть 2. — 2003. — С. 44—45. Архивировано 21 января 2022 года.
9. Huiqin Xie, Li Yang. Using Bernstein–Vazirani algorithm to attack block ciphers (англ.) // Designs, Codes and Cryptography. — 2019-05-01. — Vol. 87, iss. 5. — P. 1161–1182. — ISSN 1573-7586. — doi:10.1007/s10623-018-0510-5.
10. K. Wright, K. M. Beck, S. Debnath, J. M. Amini, Y. Nam, N. Grzesiak, J.-S. Chen, N. C. Pisenti, M. Chmielewski, C. Collins, K. M. Hudek, J. Mizrahi, J. D. Wong-Campos, S. Allen, J. Apisdorf, P. Solomon, M. Williams, A. M. Ducore, A. Blinov, S. M. Kreikemeier, V. Chaplin, M. Keesan, C. Monroe & J. Kim. Benchmarking an 11-qubit quantum computer // Nature Communications. — 2019. — Vol. 10. — С. 5464. — doi:10.1038/s41467-019-13534-2.

Ссылки

• Patrick J. Coles, Stephan Eidenbenz, Scott Pakin, Adetokunbo Adedoyin, John Ambrosiano. Quantum Algorithm Implementations for Beginners // arXiv:1804.03719 [quant-ph]. — 2018.
• David Deutsch, Roger Penrose. Quantum theory, the Church–Turing principle and the universal quantum computer (англ.) // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1985. — 8 July (vol. 400, iss. 1818). — P. 97–117. — doi:10.1098/rspa.1985.0070.
• Charles H. Bennett, Ethan Bernstein, Gilles Brassard, Umesh Vazirani. Strengths and Weaknesses of Quantum Computing (англ.) // SIAM J. Comput.. — 1997. — Vol. 26. — P. 1510–1523. — doi:10.1137/S0097539796300933. — arXiv:quant-ph/9701001.
• Jack D. Hidary. Quantum Computing: An Applied Approach. — Springer International Publishing, 2019. — С. 104—107. — ISBN 978-3030239213. — doi:10.1007/978-3-030-23922-0.