From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică un număr poligonal central este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un disc printr-un număr dat, n, de drepte. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de clătită, pentru n succesiv numerele sunt cunoscute drept șirul tăietorului leneș (în engleză lazy caterer's sequence). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un aranjament de drepte(d). Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea aranjament de hiperplane(d).
Analogul tridimensional al acestui șir este șirul numerelor de tort.
Numărul maxim de regiuni p care se pot obține prin n tăieturi drepte, unde n ≥ 0, este dat de formula:[1]
Folosind coeficienții binomiali, formula poate fi exprimată sub forma:
De fapt, doar se adună 1 la numerele triunghiulare. Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli (k = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din n tăieturi, unde n ≥ 2.
Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal:[2]
k n | 0 | 1 | 2 | Suma | |
---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | - | - | 1 | |
1 | 1 | 1 | - | 2 | |
2 | 1 | 2 | 1 | 4 | |
3 | 1 | 3 | 3 | 7 | |
4 | 1 | 4 | 6 | 11 | |
5 | 1 | 5 | 10 | 16 | |
6 | 1 | 6 | 15 | 22 | |
7 | 1 | 7 | 21 | 29 | |
8 | 1 | 8 | 28 | 37 | |
9 | 1 | 9 | 36 | 46 |
Șirul, începând cu n = 0, este:[1]
Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.[3]
Când un disc este tăiat de n ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca p = f(n), trebuie luată în considerare a n-a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este f(n − 1), în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este n.
Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a n-a dreaptă tăietoare ar trebui să intersecteze toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a n-a dreaptă în sine este tăiată în n − 1 locuri și în n segmente. Fiecare segment divide (n − 1) bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact n la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.
Astfel, numărul total de piese după n tăieturi este:
Această relație de recurență poate fi rezolvată. Dacă f(n − 1) este extins cu un termen, relația devine:
Dezvoltarea termenului f(n − 2) poate continua până când ultimul termen este redus la f(0), astfel,
Fiindcă f(0) = 1, deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:
Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.