N-sferă

În matematică o $n$ -sferă este un spațiu topologic care este homeomorf cu $n$ -sfera "standard", care este mulțimea punctelor din spațiul euclidian $(n +1)$ -dimensional care sunt situate la o distanță constantă $r$ de un punct fix, numit centru. Este generalizarea unei sfere obișnuite din spațiul tridimensional obișnuit. Raza unei sfere este distanța constantă a punctelor sale până la centru. Când sfera are raza egală cu o unitate, de obicei este numită $n$ -sferă unitate, sau, pe scurt, $n$ -sferă. În ceea ce privește norma standard, $n$ -sfera este definită drept

S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},

iar $n$ -sfera de rază $r$ este definită drept

S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.

Dimensiunea unei $n$ -sfere este $n$ , care nu trebuie confundată cu dimensiunea $(n +1)$ a spațiului euclidian care o conține în mod natural. O $n$ -sferă este suprafața care mărginește o bilă $(n +1)$ -dimensională.

În particular:

perechea de puncte de la capetele unui segment (unidimensional) este o 0-sferă,
un cerc, care este circumferința unidimensională a unui disc bidimensional, este o 1-sferă,
suprafața bidimensională a unei bile tridimensionale este o 2-sferă, numită uzual sferă,
frontiera tridimensională a unei 4-bile (cvadridimensională) este o 3-sferă,
frontiera $n -1$ -dimensională a unei $n$ -bile ( $n$ -dimensională) este o $(n -1)$ -sferă.

Pentru $n \geq 2$ $n$ -sferele, care sunt varietăți diferențiabile^⁠(d), pot fi caracterizate (până la un difeomorfism) ca fiind varietăți $n$ -dimensionale simplu conexe, cu curbură constantă pozitivă. $n$ -sferele admit alte câteva descrieri topologice: de exemplu, ele pot fi construite prin lipirea împreună a două spații euclidiene $n$ -dimensionale, identificând limita unui $n$ -cub cu un punct, sau (inductiv) prin formarea suspensiei unei $(n -1)$ -sfere. 1-sfera este o 1-varietate care este un cerc, care nu este simplu conex. O 0-sferă este o 0-varietate formată din două puncte, care nici măcar nu sunt conexe.

Prin hipersferă se înțelege în general o n-sferă cu $n$ > 2.

În coordonate euclidiene din $(n +1)$ -spațiu

Mulțimea punctelor din $(n +1)$ -spațiu, $(x 1, x 2, ..., x n +1)$ care definește o $n$ -sferă, $S^{n}(r)$ este dată de ecuația:

r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},

unde $c = (c 1, c 2, ..., c n +1)$ este centrul, iar $r$ este raza.

$n$ -sfera de mai sus există în spațiul euclidian $(n +1)$ -dimensional și este un exemplu de $n$ -varietate. Volumul $ω$ unei $n$ -sfere de rază $r$ este dat de

\omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr

unde $*$ este operatorul Hodge^⁠(d) (stea); v. Flanders (1989, §6.1) pentru demonstrație în cazul $r = 1$ . Rezultă

dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.

$n$ -bilă

Articol principal: Bilă (matematică).

Spațiul închis de o $n$ -sferă se numește $(n +1)$ -bilă. O $(n +1)$ -bilă este închisă dacă include $n$ -sfera și este deschisă dacă nu o include.

În particular:

o 1-bilă este un segment, interiorul unei 0-sfere,
o 2-bilă este un disc, interiorul unui cerc (1-sferă),
o 3-bilă este o bilă obișnuită, interiorul unei sfere (2-sferă),
o 4-bilă este interiorul unei 3-sfere etc.

Prin hiperbilă se înțelege în general o n-bilă cu $n$ > 2.

Descriere topologică

Topologic, o $n$ -sferă poate fi construită ca o compactificare^⁠(d) a spațiului euclidian $n$ -dimensional. Pe scurt, $n$ -sfera poate fi descrisă ca $S n = ℝ n \cup {\infty}$ , care este spațiul euclidian $n$ -dimensional plus un singur punct care reprezintă infinitul în toate direcțiile. În particular, dacă un singur punct este înlăturat de pe o $n$ -sferă, ea devine homeomorfă cu $ℝ n$ . Asta formează baza proiecției stereografice.^[1]

$V n (R)$ și $S n (R)$ sunt volumul $n$ -dimensional al bilei $n$ -dimensionale, respectiv aria suprafeței $n$ -sferei $n + 1$ -dimensionale, de rază $R$ .

Constantele $V n$ și $S n$ (pentru $R = 1$ , bila și sfera unitate) sunt legate prin relațiile de recurență:

{\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}

Ariile și volumele sunt date și de relațiile:

{\begin{aligned}S_{n-1}(R)&={\frac {2\,\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}R^{n-1}\\[6pt]V_{n}(R)&={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\end{aligned}}

unde $Γ$ este funcția gamma.

În general, volumul $n$ -bilei de rază $R$ din spațiul euclidian $n$ -dimensional și aria suprafeței $n$ -sferei de rază $R$ din spațiul euclidian $(n +1)$ -dimensional sunt proporționale cu a $n$ -a putere a razei $R$ (cu diferite constante de proporționalitate care depind de $n$ ). Se poate scrie $V n (R) = V n R n$ pentru volumul $n$ -bilei și $S n (R) = S n R n$ pentru aria suprafeței $n$ -sferei, ambele de rază $R$ , unde $V n = V n (1)$ și $S n = S n (1)$ sunt valorile pentru raza 1.

În teorie, se pot compara valorile $S n (R)$ și $S m (R)$ pentru $n \neq m$ . Totuși, acestea nu sunt bine definite. De exemplu, dacă $n = 2$ și $m = 3$ atunci comparația este de parcă s-ar compara un număr de metri pătrați cu alt număr de metri cubi. La fel la compararea $V n (R)$ cu $V m (R)$ pentru $n \neq m$ .

Exemple

0-bila este formată dintr-un singur punct. Dimensiunea Hausdorff este numărul de puncte al mulțimii. Prin urmare,

V_{0}=1.

0-sfera este formată din două puncte de capăt, ${-1,1}$ . Prin urmare,

S_{0}=2.

1-bila unitate este intervalul $[-1,1]$ de lungime 2. Prin urmare,

V_{1}=2.

1-sfera este cercul unitate din planul euclidian, care are circumferința (1-dimensională)

S_{1}=2\pi .

Zona închisă de 1-sferă este 2-bila, sau discul unitate, care are aria (2-dimensională)

V_{2}=\pi .

Analog, în spațiul euclidian 3-dimensional, aria suprafeței (2-dimensională) a 2-sferei este

S_{2}=4\pi ,

iar volumul închis de 3-bila unitate (3-dimensională), este

V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .

Articol principal: Proiecție stereografică.

La fel cum o sferă bidimensională din spațiul tridimensional poate fi proiectată pe un plan bidimensional printr-o proiecție stereografică, o $n$ -sferă poate fi proiectată pe un hiperplan $n$ -dimensional de versiunea $n$ -dimensională a proiecției stereografice. De exemplu, punctul $[x, y, z]$ de pe o sferă bidimensională de rază 1corespunde punctului $[x / 1 - z, y / 1 - z]$ din planul $xy$ . Altfel spus,

[x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].

Analog, proiecția stereografică a unei $n$ -sfere $S n -1$ de rază 1 va fi aplicată pe hiperplanul $(n -1)$ -dimensional $ℝ n -1$ perpendicular pe axa $x n$ ca

[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].

[1]
en James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer

en Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
en Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).
en Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere).
en Marsaglia, G. (1972). „Choosing a Point from the Surface of a Sphere”. Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644.
en Huber, Greg (1982). „Gamma function derivation of n-sphere volumes”. Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933.
en Barnea, Nir (1999). „Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction”. Phys. Rev. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135.

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Hypersphere la MathWorld.

[1] [1]
en James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer

[1]