Funcția zeta Riemann

În matematică, funcția zeta Riemann, numită după matematicianul german Bernhard Riemann, este o funcție cu semnificație importantă în teoria numerelor din cauza relației pe care o are cu distribuția numerelor prime. Are aplicații și în alte domenii cum ar fi fizica, teoria probabilităților, și în statistică aplicată.

Funcția zeta Riemann ζ(s) în planul complex. Culoarea unui punct s codifică valoarea lui ζ(s): culorile tari codifică valori apropiate de zero iar tenta codifică argumentul. Punctul alb din s = 1 este polul funcției zeta; punctele negre de pe axa reală negativă și de pe dreapta critică Re(s) = 1/2 sunt zerourile.

Definiție

funcția zeta Riemann pentru s real și s > 1

Funcția zeta Riemann ζ(s) este o funcție de variabilă complexă s inițial definită prin următoarea serie infinită:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

pentru anumite valori ale lui s și apoi continuată analitic la toate numerele complexe s ≠ 1. Această serie Dirichlet converge pentru toate valorile reale ale lui s mai mari ca 1.

De la lucrarea Despre numerele prime mai mici decât un număr dat din 1859 a lui Bernhard Riemann, a devenit standard să se extindă definiția funcției ζ(s) la valori complexe ale variabilei s, în două etape. Întâi, Riemann a arătat că seria este convergentă pentru orice s complex cu partea reală Re(s) mai mare ca unu și definește o funcție analitică de variabilă complexă s pe regiunea {s ∈ C : Re(s) > 1} a planului complex C. Apoi, el a demonstrat cum se extinde funcția ζ(s) la toate valorile complexe ale lui s diferite de 1. Ca rezultat, funcția zeta devine funcție meromorfă de variabilă complexă s, care este olomorfă în regiunea {s∈C:s≠ 1} a planului complex și are un pol simplu în s=1. Procesul de continuare analitică are ca rezultat o funcție unică, și, pe lângă a extinde ζ(s) dincolo de domeniul de convergență al seriei originale, Riemann a stabilit o ecuație funcțională pentru funcția zeta, care pune în legătură valorile din punctele s cu cele din punctele 1 − s. Celebra ipoteză Riemann, formulată în aceeași lucrare a lui Riemann, se ocupă de zerourile acestei funcții extinse analitic. Pentru a accentua faptul că s este văzut ca număr complex, el este scris de obicei de forma s = σ + it, unde σ = Re(s) este partea reală a lui s, iar t = Im(s) este partea imaginară a lui s.

Vezi și

	Portal Matematică

• Indicatorul lui Euler
• Conjectura lui Goldbach
• Integrală eliptică