Factorial

În matematică factorialul unui număr întreg pozitiv n, notat cu n!, este egal cu produsul numerelor naturale mai mici sau egale cu n. Este o funcție numerică discretă și o operație unară (cu un singur operand). Este întâlnit în combinatorică și în alte formule matematice cum ar fi coeficienții din binomul lui Newton sau formula lui Taylor.

Tabel cu o selecție de numere factoriale ^[1]

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	7003504000000000000♠5040
8	7004403200000000000♠40320
9	7005362880000000000♠362880
10	7006362880000000000♠3628800
11	7007399168000000000♠39916800
12	7008479001600000000♠479001600
13	7009622702080000000♠6227020800
14	7010871782912000000♠87178291200
15	7012130767436800000♠1307674368000
16	7013209227898880000♠20922789888000
17	7014355687428096000♠355687428096000
18	7015640237370572800♠6402373705728000
19	7017121645100408832♠121645100408832000
20	7018243290200817664♠2432902008176640000
25	7025155112100400000♠1.551121004×1025
50	7064304140932000000♠3.041409320×1064
70	7100119785716700000♠1.197857167×10100
100	7157933262154400000♠9.332621544×10157
450	9000000000000000000♠1.733368733×101000
7003100000000000000♠1000	9000000000000000000♠4.023872601×102567
7003324900000000000♠3249	9000000000000000000♠6.412337688×1010000
7004100000000000000♠10000	9000000000000000000♠2.846259681×1035659
7004252060000000000♠25206	9000000000000000000♠1.205703438×10100000
7005100000000000000♠100000	9000000000000000000♠2.824229408×10456573
7005205023000000000♠205023	9000000000000000000♠2.503898932×101000004
7006100000000000000♠1000000	9000000000000000000♠8.263931688×105565708
7100100000000000000♠10100	107101995657055180894♠10101.9981097754820

Exemple:

${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ }$

${\displaystyle 0!=1\ }$ (caz special stipulat prin definiție)

Factorialul unui număr oarecare n indică numărul de permutări (numărul de posibilități de rearanjare) ale unei mulțimi finite având n elemente.

Poate fi aproximat prin formula lui Stirling.

Definiție

Funcția factorial este definită de:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}$

sau, recursiv, de:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{, }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{, }}n>0.\end{cases}}}$

Suma inverselor factorialelor

Suma inverselor factorialelor numerelor de la 0 la n, când n tinde spre infinit, este egală cu constanta e:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n!}}=\mathrm {e} =2,718\,281\,828\,459\ldots }$

Aceasta este o consecință a dezvoltării în serie Maclaurin a funcției exponențiale:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$.

pentru cazul particular ${\displaystyle x=1}$.^[2]