Elicoid

În geometrie elicoidul,^[1][2] sau suprafață elicoidală, este o suprafață generată de o dreaptă care se sprijină pe o elice și pe axa ei. După plan și catenoidă, este a treia suprafață minimală^⁠(d) cunoscută.^[2]

Un elicoid cu α = 1, −1 ≤ ρ ≤ 1 și −π ≤ θ ≤ π.

model 3D

Descriere

A fost descrisă de Leonhard Euler în 1774 și de Jean Baptiste Meusnier în 1776. Numele provine din asemănarea sa cu elicea: pentru fiecare punct de pe elicoid, există o spirală^⁠(d) cuprinsă în elicoid care trece prin acel punct. Întrucât se consideră că domeniul planar se extinde de la infinitul negativ până la cel pozitiv, observarea atentă arată apariția a două plane paralele sau în oglindă în sensul că dacă este trasată panta unui plan, coplanul poate fi văzut ca fiind ocolit sau sărit, deși în realitate co-planul este urmărit și din perspectivă opusă.

Elicoidul este o suprafață riglată^⁠(d) (și un conoid drept), ceea ce înseamnă că este o urmă a unei linii. Alternativ, pentru orice punct de pe suprafață, există o dreaptă pe suprafață care trece prin acesta. Eugène Charles Catalan a dovedit în 1842 că elicoidul și planul erau singurele suprafețe minimale riglate.^[3]

În sensul geometriei diferențiale, un elicoid este o suprafață de translație. Elicoidul și catenoida sunt suprafețe minimale.^[2]

Elicoidul are forma șurubului lui Arhimede, dar se extinde la infinit în direcția axei sale. Poate fi descris prin următoarele ecuații parametrice în coordonate carteziene:

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

unde ρ și θ merg de la infinitul negativ la cel pozitiv, în timp ce α este constant. Dacă α este pozitiv, atunci elicoidul este „pe dreapta”, cum apare în figură, iar dacă este negativ, elicoidul este „pe stânga”.

Elicoidul are curburile principale^⁠(d) ${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$. Suma acestor mărimi dă curbura medie^⁠(d) (zero deoarece elicoidul este o suprafață minimală) iar produsul dă curbura gaussiană^⁠(d).

Elicoidul este homeomorf^⁠(d) cu planul ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Pentru a vedea acest lucru, se lasă α să scadă continuu de la valoarea sa dată până la zero. Fiecare valoare intermediară a lui α va descrie un elicoid diferit, până când α = 0 este atins și elicoidul devine un plan.

Invers, un plan poate fi transformat într-un elicoid alegând o dreaptă (axa) din plan, apoi răsucind planul în jurul acelei axe.

Dacă un elicoid cu raza R se rotește cu un unghi de θ în jurul axei sale în timp ce se ridică cu o înălțime h, aria suprafeței parcurse este dată de:^[4]

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],}$   unde ${\displaystyle c={\frac {h}{\theta }}.}$

Elicoidul și catenoida

Animație care arată transformarea unui elicoid într-o catenoidă

Elicoidul și catenoida sunt suprafețe local izometrice.

Note

1. „elicoid” la DEX online
2. Andrei Dan Halanay, Curs de geometrie, Universitatea din București, accesat 2022-09-14
3. en Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin (contributor A. A. Tuzhilin), Published by AMS Bookstore, 1991, ISBN: 0-8218-4552-7, ISBN: 978-0-8218-4552-3, p. 33
4. en Eric W. Weisstein, Elicoid la MathWorld.

Legături externe

	Portal Matematică

• Materiale media legate de elicoid la Wikimedia Commons
• en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Helicoid”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• en WebGL-based Interactive 3D Helicoid