Banda lui Möbius

Banda lui Möbius sau mai simplu banda Möbius (mai rar scris și Moebius) este un model de suprafață cu o singură față și o singură margine. Banda are proprietatea matematică de a fi neorientabilă. A fost studiată inițial de August Ferdinand Möbius și Johann Benedict Listing, care au descoperit-o independent în 1858. ^[1][2][3]

O bandă Möbius realizată dintr-o bucată de hârtie lipită. Dacă o furnică ar traversa de-a lungul benzii, s-ar întoarce în punctul de plecare, traversând toată lungimea acesteia, fără să treacă vreo margine.

Un exemplu de bandă Möbius poate fi realizat folosind o bucată dreptunghiulară de hârtie, astfel ca unul dintre capete să fie rotit și lipit cu celălalt capăt, pentru a se forma o buclă (ca în imagine).

Toate benzile Möbius cu un număr impar de semirăsuciri sunt homomorfe între ele. Și toate benzile cu un număr par de semirăsuciri sunt homomorfe între ele. Dar o bandă cu un număr par de semirăsuciri nu este homomorfă cu una cu un număr impar de semirăsuciri. De asemenea, banda Möbius apare în două forme: dextrogiră și levogiră (de mână dreaptă și mână stângă)^[4].

Istoric

Mozaic din orașul antic Sentinum, din peninsula italică, prezentând zeitatea Aion, aflat în interiorul unei benzi Möbius

Pompă hidraulică cu lanț, de tip bandă Möbius - desen realizat Ismail al-Jazari (1206)

Descoperirea benzii Möbius, ca obiect matematic este atribuită independent a doi matematicieni germani, lui Johann Benedict Listing și lui August Ferdinand Möbius, ambii semnalând-o în 1858.

Oricum, fusese cunoscută cu mult timp înainte, atât ca obiect fizic precum și ca imagine în reprezentări artistice. În mod particular, poate fi văzută în mai multe mozaicuri din perioada Romei antice.^[5].

În numeroase cazuri, aceste reprezentări înfățișează doar benzi sau panglici încolăcite ca limite ale altor reprezentări. Când numărul de răsuciri este impar, aceste structuri sunt benzi Möbius, dar pentru un număr par de răsuciri, acestea sunt echivalente - din punct de vedere topologic - cu inele nerăsucite, cunoscute sub numele de coroane circulare.

Parametrizare

O parametrizare^[6] tipică este:

${\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}}$

unde 0 ≤ u < 2π și −1 ≤ v ≤ 1. Folosind aceste ecuații, obținem o bandă Möbius cu lățimea 1 și raza 1, având centrul în originea sistemului de coordonate (0,0,0). Parametrul u se depleasează de-a lungul benzii, iar parametrul v se deplasează pe lățime.

În coordonate polare cilindrice, (r, θ, z), banda lui Möbius se reprezintă prin ecuația

${\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\frac {1}{2}}\theta \right).}$

Vezi și

• Sticla lui Klein
• Transformare Möbius

Referințe

1. Clifford A. Pickover (martie 2005). The Möbius Strip : Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 1-56025-826-8.
2. Rainer Herges (2005). Möbius, Escher, Bach – Das unendliche Band in Kunst und Wissenschaft . In: Naturwissenschaftliche Rundschau 6/58/2005. pp. 301–310. ISSN 0028-1050.
3. Chris Rodley (ed.) (1997). Lynch on Lynch. London, Boston. p. 231.Mentenanță CS1: Text în plus: lista autorilor (link)
4. Clifford A. Pickover (2013). Banda lui Möbius. București, România: Humanitas. pp. 122–123. ISBN 978-973-50-4082-6.
5. Larison, Lorraine L. (1973). "The Möbius band in Roman mosaics". American Scientist. 61 (5): 544–547. Bibcode:1973AmSci..61..544L. JSTOR 27843983
6. Clifford A. Pickover (2013). Banda lui Möbius. București, România: Humanitas. pp. 108–109. ISBN 978-973-50-4082-6.

Legături externe

Commons

Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Banda lui Möbius

• BANDA LUI MÖBIUS Arhivat în 21 decembrie 2015, la Wayback Machine.