Metoda epuizării
From Wikipedia, the free encyclopedia
Metoda epuizării (în latină methodus exaustionibus) este o metodă de a găsi aria sau volumul unei figuri geometrice complexe, prin înscrierea și circumscrierea ei în interiorul unei secvențe de poligoane a cărei arie sau volum converge către aria sau volumul figurii. Dacă secvența este corect construită, diferența dintre poligonul cu n laturi și figură devine arbitrar de mică atunci când n devine suficient de mare. Atunci când diferența devine arbitrar de mică, valorile posibile ale ariei figurii sunt sistematic epuizate de limita inferioară și superioară a ariei sau volumului stabilit succesiv de secvențele anterioare. Se pare că idea de a folosi această metodă aparține lui Antiphon[1], dar cel care a formulat teoria riguroasă a metodei a fost Eudoxus.
Tipic, metoda epuizării cere formularea demonstrației prin contradicție, cunoscută sub denumirea de reducere la absurd. Acest lucru echivalează cu găsirea ariei unei prime figuri prin compararea cu aria unei a doua figuri, care poate fi epuizată, astfel că aria celei de a doua figuri devine arbitrar de apropiată de aria adevărată. Demonstrația implică presupunerea că aria adevărată este mai mare decât cea de-a doua arie, astfel dovedind că afirmația este falsă, iar apoi se presupune că aria adevărată este mai mică decât cea de-a doua arie, dovedind că afirmația este din nou falsă.
Dezvoltatea geometriei analitice și a calculului integral între secolele XVII-XIX (în particular dându-se și definiția riguroasă a limitei), au redus importanța metodei epuizării, astfel încât aceasta nu a mai fost folosită explicit la rezolvarea problemelor. Un pas intermediar important a fost principiul lui Cavalieri, numit și metoda indivizibilului, care a reprezentat o punte între metoda epuizării și calculul integral.