Funcție de undă

Funcție de undă este denumirea tradițională pentru funcția de stare a unei particule sau a unui sistem de particule, în formularea dată de Erwin Schrödinger mecanicii cuantice, numită și mecanică ondulatorie.

Ecuația lui Schrödinger

Pentru un sistem cu ${\displaystyle n\,}$ grade de libertate, funcția de undă este o funcție de coordonatele ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ în spațiul configurațiilor și de timp:

${\displaystyle \psi =\psi \left(x_{1},...,x_{n},t\right)\,.}$

Ea satisface ecuația lui Schrödinger, care are forma generală^[1]

${\displaystyle {\mathcal {H}}\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,,}$

unde ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ este operatorul hamiltonian al sistemului. Această ecuație liniară determină funcția de undă până la un factor constant, care se fixează prin condiția de normare

${\displaystyle \int |\psi \left(\mathbf {x} ,t\right)|^{2}\,dx_{1}...dx_{n}=1\,.}$

Integrala e extinsă la întreg spațiul configurațiilor, iar hermiticitatea hamiltonianului asigură că ea nu depinde de timp.^[2]

În cazul particulelor cu spin diferit de zero, funcția de undă depinde și de variabilele de spin, hamiltonianul conține termeni corespunzători interacțiilor de spin, iar în condiția de normare se face o sumare peste variabilele de spin.

Interpretare statistică

Modul în care starea sistemului este conținută în funcția de undă a fost indicat de Max Born, care i-a dat acesteia o interpretare statistică: cantitatea ${\displaystyle {\mathcal {P}}=|\psi |^{2}}$ reprezintă densitatea de probabilitate de localizare, adică

${\displaystyle |\psi \left(x_{1},...,x_{n},t\right)|^{2}\,dx_{1}...dx_{n}}$

reprezintă probabilitatea de localizare a sistemului în elementul de volum ${\displaystyle dx_{1}...dx_{n}\,}$ din spațiul configurațiilor. Condiția de normare la unitate este expresia certitudinii că sistemul există, în orice moment, în spațiul configurațiilor.^[3][4]

Stări staționare

Dacă hamiltonianul nu depinde explicit de timp, funcția de undă reprezintă o stare staționară a sistemului și are forma

${\displaystyle \psi \left(x_{1},...,x_{n},t\right)=u\left(x_{1},...,x_{n}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}\,,}$

unde ${\displaystyle u\left(x_{1},...,x_{n}\right)}$ satisface ecuația lui Schrödinger independentă de timp

${\displaystyle {\mathcal {H}}\,u\left(x_{1},...,x_{n}\right)=E\,u\left(x_{1},...,x_{n}\right)\,.}$

Impunând condiția suplimentară ca soluția să fie diferită de soluția banală identic nulă iar comportarea ei să fie astfel încât condiția de normare să poată fi satisfăcută, aceasta devine o problemă de valori proprii, care determină nivelele de energie ${\displaystyle E\,}$ ale sistemului.^[5][6]

Note

1. Țițeica, pp. 45–46.
2. Messiah, pp. 101–102.
3. Țițeica, pp. 56–58.
4. Schiff, pp. 22–24.
5. Messiah, pp. 60–62.
6. Schiff, pp. 27–34.

Bibliografie

• Albert Messiah: Mécanique quantique, Tome I, Dunod, Paris, 1962.
• Leonard I. Schiff: Quantum Mechanics, ed. 2-a, McGraw-Hill, New York, 1955.
• Șerban Țițeica: Mecanica cuantică, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984.

Vezi și

• Ecuația lui Schrödinger
• Funcție de stare și spațiu Hilbert

Legături externe

	Portal Fizică

• If Ψ is a function, what is it a function of? Arhivat în 25 iulie 2010, la Wayback Machine.