Funcție hiperbolică
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, funcțiile hiperbolice sunt analoagele funcțiilor trigonometrice, dar definite folosind hiperbola în locul cercului. La fel cum punctele (cos t, sin t) formează un cerc [cu raza de o] unitate, punctele (ch t, sh t) formează jumătatea dreaptă a unei hiperbole unitate. De asemenea, la fel cum derivatele lui sin t și cos t sunt cos t și –sin t, derivatele lui sh t și ch t sunt cosh t și +sinh t.
Funcțiile hiperbolice apar în calculele unghiurilor și distanțelor din geometrie hiperbolică. Ele apar, de asemenea, în soluțiile multor ecuații diferențiale liniare (cum ar fi ecuația care definește un lănțișor), ecuații cubice și ecuația lui Laplace în coordonate carteziene. Ecuația lui Laplace este importantă în multe domenii ale fizicii, inclusiv teoria electromagnetică, transferul de căldură, dinamica fluidelor și relativitatea restrânsă.
Notațiile acestor funcții au variat, în literatura matematică în limba română s-au folosit mult notații diferite de cele folosite în limba engleză[1] însă în prezent există o tendință de aliniere.[2] De asemenea, în literatura română funcțiile secantă hiperbolică, cosecantă hiperbolică și în bună măsură cotangentă hiperbolică nu se folosesc, fiind exprimate comod prin funcțiile cosinus hiperbolic, sinus hiperbolic și tangentă hiperbolică.
Funcțiile hiperbolice de bază și inversele lor sunt:[3][4]
Funcția | Notația în limba română actuală[2] anterioară[1] | Notația în limba engleză[5] variante | Funcția inversă | Notația în limba română[2] | Notația în limba engleză[5] |
---|---|---|---|---|---|
sinus hiperbolic | sinh sh | sinh | arcsinus hiperbolic argument sinus hiperbolic | arcsinh, arcsh argsinh, argsh | arcsinh arsinh asinh |
cosinus hiperbolic | cosh ch | cosh | arccosinus hiperbolic argument sinus hiperbolic | arccosh, arcch argcosh, argch | arccosh arcosh acosh |
tangentă hiperbolică | tanh th | tanh | arctangentă hiperbolică argument tangentă hiperbolică | arctanh argth | arctanh artanh atanh |
cotangentă hiperbolică | coth cth | coth | arccotangentă hiperbolică argument cotangentă hiperbolică | arccoth argcth | arccoth arcoth acoth |
secantă hiperbolică | – | sech | arcsecantă hiperbolică | – | arcsech arsech asech |
cosecantă hiperbolică | – | cosech csch | arccosecantă hiperbolică | – | arccsch arcsch acsch |
Argumentul unei funcții hiperbolice este un număr real, numit unghi hiperbolic. Mărimea unui unghi hiperbolic este de două ori aria sectorului său hiperbolic. Funcțiile hiperbolice pot fi definite în termenii unui triunghi hiperbolic drept care acoperă acest sector.
În analiza complexă, funcțiile hiperbolice apar ca părți imaginare ale sinusului și ale cosinusului. Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt funcții întregi. Ca rezultat, celelalte funcții hiperbolice sunt meromorfe în întregul plan complex.
Teorema Lindemann–Weierstrass afirmă că funcțiile hiperbolice au o valoare transcendentală pentru orice valoare algebrică nenulă a argumentului.[6]
Funcțiile hiperbolice au fost introduse în anii 1760 independent de Vincenzo Riccati și Johann Heinrich Lambert.[7] Riccati a folosit Sc. și Cc. (din italiană sinus/cosinus circulare) pentru a se referi la funcțiile trigonometrice și Sh. și Ch. (din italiană sinus/cosinus hyperbolico) pentru a se referi la funcțiile hiperbolice. Lambert a adoptat numele, dar a modificat abrevierile cu cele utilizate astăzi.[8] Abrevierile sh, ch, th, cth sunt și ele utilizate în prezent, în funcție de preferințele personale.