Geometrie hiperbolică
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, geometria hiperbolică (numită și geometria lobacevskiană sau geometria Bolyai-Lobacevski) este o geometrie neeuclidiană, în care axioma (postulatul) paralelelor din geometria euclidiană este înlocuită. Axioma paralelelor este echivalentă cu faptul că, într-un spațiu bidimensional, pentru orice dreaptă d și orice punct P care nu aparține dreptei d, există o singură dreaptă care trece prin P și care nu intersectează dreapta d, adică este paralelă cu d. În geometria hiperbolică există cel puțin două drepte care trec prin P și nu se intersectează cu d, astfel încât această axiomă nu mai este valabilă. Dintre dreptele nesecante cu d exact două sunt paralele cu d, cele care se intersectează cu d „la infinit”.
Au fost construite diverse modele, demonstrând astfel că axioma paralelelor este independentă de celelalte axiome ale lui Euclid.
O proprietate caracteristică geometriei hiperbolice atestă faptul că suma unghiurilor unui triunghi este mai mică decât măsura a două unghiuri drepte. În cazul în care vârfurile tind la infinit, există triunghiuri hiperbolice ideale, în care toate cele trei unghiuri au măsurile egale cu 0°.
În planul hiperbolic distanțele pot fi măsurate în termeni de o unitate de lungime , fiind analoagele razelor unor sfere din geometria sferică. Utilizând această unitate de lungime, există în geometria hiperbolică, o teoremă echivalentă cu teorema lui Pitagora. Dacă sunt două laturi ale unui triunghi dreptunghic, iar este ipotenuza sa atunci avem:
Funcția cosh este o funcție hiperbolică, echivalentă funcției standard cosinus. Toate cele trei funcții trigonometrice standard au echivalente hiperbolice. În trigonometrie, în relațiile ce conțin laturile și unghiurile unui triunghi hiperbolic, funcțiile hiperbolice sunt aplicate laturilor, iar funcțiile trigonometrice standard sunt aplicate unghiurilor. De exemplu, teorema sinusului într-un triunghi hiperbolic este:
Spre deosebire de triunghiurile euclidiene, în care suma tuturor unghiurilor este egală cu 180° sau radiani, în triunghiurile hiperbolice toate cele trei unghiuri însumează mai puțin de 180°. Această diferență se datorează deficitului unghiular. Aria unui triunghi hiperbolic este dată de deficitul său înmulțit cu , unde . Ca o consecință, toate triunghiurile hiperbolice au aria mai mică decât . La fel ca în geometria sferică singurele triunghiuri asemenea sunt triunghiurile congruente.
În geometria hiperbolică lungimea unui cerc de rază este mai mare decât . De fapt este egală cu
Aria discului închis este
Aria suprafeței unei sfere este
Orice izometrie (transformare sau deplasare) a planului hiperbolic pe el însuși poate fi realizată prin cel mult trei reflexii. În spațiul hiperbolic n-dimensional ar putea fi necesare până la n+1 reflexii. (Acestea sunt valabile și pentru geometriile euclidiene și sferice, dar clasificarea de mai jos diferă.)
Toate izometriile planului hiperbolic pot fi clasificate în următoarele clase:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.