Fagure hipercubic

În geometrie, un fagure hipercubic este o familie de faguri regulați (teselări) în n-dimensiuni cu simbolurile Schläfli {4,3,...,3,4} și având simetriile grupului Coxeter R_n (sau B^~_n-1) pentru n ≥ 3.

Pavare pătrată regulată 1 culoare	Fagure cubic regulat 1 culoare
Pavare pătrată tablă de șah 2 culori	Fagure cubic tablă de șah 2 culori
Pavare pătrată expandată 3 culori	Fagure cubic expandat 4 culori
4 culori	8 culori

Teselarea este construită cu 4-hipercuburi pe latură. Figura vârfului este un ortoplex {3,...,3,4}.

Fagurii hipercubici sunt autoduali.

Coxeter a notat această familie cu δ_n+1 pentru un fagure n-dimensional.

Construcția Wythoff a claselor în funcție de dimensiuni

Construcția Wythoff este o metodă de a construi un poliedru uniform sau o pavare plană.

Cele două forme generale ale fagurilor hipercubici sunt formele regulate, cu fațete hipercubice identice și unele semiregulate, fațetele alternând, ca tabla de șah.

A treia formă este generată de o formă expandată, operație care, aplicată formelor regulate, generează fațete în locul tuturor elementelor de dimensiuni inferioare. De exemplu, un fagure cubic expandat are celule cubice centrate pe cuburile originare, pe fețele originare și pe vârfurile originare, creând celule de 4 culori în jurul unui vârf vertex, în raporturile 1:3:3:1.

Fagurii ortotopici sunt o familie echivalentă topologic cu fagurii cubici, dar cu mai puține simetrii, în care dimensiunea laturilor diferă pentru fiecare din cele trei direcții axiale. Fațetele sunt hiperdreptunghiuri^⁠(d) (ortotopuri); în 2 și 3 dimensiuni ortotopurile sunt dreptunghiuri, respectiv paralelipipede dreptunghice.

δn	Nume	Symboluri Schläfli	Diagramă Coxeter
			Ortotopic ({∞}n) (2m culori, m < n)	Regulat (expandat) {4,3n–1,4} (1 culoare, n culori)	În „șah” {4,3n–4,31,1} (2 culori)
δ2	Apeirogon	{∞}
δ3	Pavare pătrată	{∞}2 {4,4}
δ4	Fagure cubic	{∞}3 {4,3,4} {4,31,1}
δ5	4-fagure cubic	{∞}4 {4,32,4} {4,3,31,1}
δ6	5-fagure cubic	{∞}5 {4,33,4} {4,32,31,1}
δ7	6-fagure cubic	{∞}6 {4,34,4} {4,33,31,1}
δ8	7-fagure cubic	{∞}7 {4,35,4} {4,34,31,1}
δ9	8-fagure cubic	{∞}8 {4,36,4} {4,35,31,1}
δn	n-fagure hipercubic	{∞}n {4,3n-3,4} {4,3n-4,31,1}	...

Note

Bibliografie

• en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8
  1. pp. 122–123. (The lattice of hypercubes γ_n form the cubic honeycombs, δ_n+1)
  2. pp. 154–156: Partial truncation or alternation, represented by h prefix: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={3^1,1,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
  3. p. 296, Table II: Regular honeycombs, δ_n+1

Legături externe

	Portal Matematică

• Materiale media legate de fagure hipercubic la Wikimedia Commons

v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu	Familia	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ / ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E2	Pavare uniformă	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Hexagonală
E3	Fagure convex uniform	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	4-fagure uniform	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	Fagure 24-celule
E5	5-fagure uniform	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	6-fagure uniform	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	7-fagure uniform	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	8-fagure uniform	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
En-1	(n−1)-fagure uniform	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21