Dualitate (matematică)
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, o dualitate transformă concepte, teoreme sau structuri matematice în alte concepte, teoreme sau structuri, printr-o transformare „unu la unu”, adesea (dar nu întotdeauna) prin intermediul unei operații de involuție: dacă dualul lui A este B, atunci dualul lui B este A. Astfel de involuții au uneori puncte fixe, astfel încât dualul lui A este A însuși. De exemplu, teorema lui Desargues este autoduală în acest sens pentru dualitatea standard în geometria proiectivă.
Termenul dualitate are mai multe înțelesuri.[1] A fost descris ca „un concept foarte răspândit și important în matematică (modernă)”[2] și "o temă generală importantă care are manifestări în aproape toate domeniile matematicii".[3]
Multe dualități matematice între obiecte de două tipuri se referă la împerecheri, aplicații biliniare de la un obiect de un tip și un alt obiect de al doilea tip la vreo familie de scalari. De exemplu, dualitatea în algebra liniară corespunde aplicațiilor biliniare pe împerecheri de spații vectoriale și scalari, dualitatea dintre distribuții și funcțiile de testare asociate corespunde împerecherii dintre o distribuție și funcția de testare, iar dualitatea Poincaré corespunde în mod similar la numărul de intersecții, privit ca o împerechere între subvarietăți ale unei varietăți date.[4]
Din punct de vedere al teoriei categoriilor, dualitatea poate fi văzută și ca un functor, cel puțin în domeniul spațiilor vectoriale. Acest functor atribuie fiecărui spațiu spațiul său dual, iar produsul fibrat atribuie fiecărei săgeți f: V → W dualul său f∗: W∗ → V∗.