Álgebra de Banach
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Em análise funcional, uma álgebra de Banach A é um espaço de Banach e uma álgebra associativa sobre um corpo (normalmente ou ), em que o produto é associativo e a norma satisfaz:
- , para todo par
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Essa propriedade garante que a operação multiplicação é contínua.
- Se existe uma identidade multiplicativa , chamamos de unidade
- Uma álgebra de Banach é dita unital se se tiver identidade multiplicativa de modo que . Podemos provar se a álgebra de Banach possui unidade, há uma norma equivalente onde ela será unital
- Dizemos que a álgebra é comutativa se a operação for comutativa
- Se e é álgebra com a mesma multiplicação de , então dizemos que é subálgebra de
- Toda álgebra de Banach é isométrica a uma subálgebra de uma álgebra unital de Banach. Isto garante que toda álgebra de Banach pode ser vista como subálgebra de uma que seja Banach e unital
Por causa do ultimo item acima é comum presumir que sempre tratamos de uma álgebra de Banach unital. Dizemos que um elemento é inversível se existe de modo que . Uma *-álgebra é uma álgebra de Banach munida de uma involução satisfazendo propriedades da adjunta.