Translação (geometria)

Na geometria euclidiana, uma translação é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço, na mesma distância em uma determinada direção.

Uma translação move cada ponto de uma figura ou espaço na mesma proporção em uma determinada direção.

A reflexão da figura vermelha (ABC) sobre o primeiro eixo seguido pela reflexão da figura verde (resultante) contra o segundo eixo paralelo ao primeiro, resulta no movimento total que é uma translação da figura vermelha (ABC) para a posição da figura azul (A'B'C').

Na geometria euclidiana, uma transformação é uma correspondência de um para um entre dois conjuntos de pontos ou uma aplicação de um plano para outro.^[1] Uma translação pode ser descrita como um movimento rígido: os outros movimentos rígidos são rotações, reflexos e reflexão com deslizamento.

Uma translação também pode ser interpretada como a adição de um vetor constante a cada ponto, ou como o deslocamento da origem do sistema de coordenadas.

Um operador de translação é o operador ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ tal que ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$

E se ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é um vetor fixo, então a translação ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ vai funcionar como ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} .}$

E se ${\displaystyle T}$ é uma translação, então a imagem do subconjunto ${\displaystyle A}$ sob a função ${\displaystyle T}$ é a translação de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle T.}$ A translação de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ é frequentemente escrita ${\displaystyle A+\mathbf {v} .}$

Em um espaço euclidiano, qualquer translação é uma isometria. O conjunto de todas as translações forma o grupo de translação ${\displaystyle \mathbb {T} ,}$ que é isomórfico ao próprio espaço, e um subgrupo normal do grupo euclidiano ${\displaystyle E(n).}$ O grupo quociente de ${\displaystyle E(n)}$ por ${\displaystyle \mathbb {T} }$ é isomorfo ao grupo ortogonal ${\displaystyle O(n):}$

$${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$$

Representação matricial

Uma translação é uma transformação afim sem pontos fixos. As multiplicações de matrizes sempre têm a origem como um ponto fixo. No entanto, há uma solução alternativa comum usando coordenadas homogêneas para representar uma translação de um espaço vetorial por meio de uma multiplicação matricial: Escreva o vetor tridimensional ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ usando 4 coordenadas homogêneas como ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1).}$ ^[2]

Para transladar um objeto por um vetor ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ cada vetor homogêneo ${\displaystyle \mathbf {p} }$ (escrito em coordenadas homogêneas) pode ser multiplicado por esta matriz de translação:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Conforme mostrado abaixo, a multiplicação dará o resultado esperado:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$$

O inverso de uma matriz de translação pode ser obtido invertendo o sentido do vetor:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.}$$

Da mesma forma, o produto das matrizes de translação é dado pela adição dos vetores:

$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.}$$

Como a adição de vetores é comutativa, a multiplicação de matrizes de translação também é comutativa (ao contrário da multiplicação de matrizes arbitrárias).

Translações na física

Na física, a translação (movimento translacional) é o movimento que altera a posição de um objeto, se opondo à rotação. Por exemplo, de acordo com Whittaker: ^[3][4]

Se um corpo se move de uma posição para outra, e as retas que juntam os pontos iniciais e finais de cada ponto do corpo são um conjunto de retas paralelas de comprimento ℓ, de modo que a orientação do corpo no espaço não é alterada, o deslocamento é chamado de translação paralela na direção das retas, de uma distancia ℓ

— E. T. Whittaker

 A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1 (em inglês)

Uma translação é a operação que altera as posições de todos os pontos ${\displaystyle (x,y,z)}$ de um objeto de acordo com a fórmula:

$${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$$

em que ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ é o mesmo vetor para cada ponto do objeto. O vetor de translação ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ comum a todos os pontos do objeto descreve um determinado tipo de deslocamento do objeto, geralmente chamado de deslocamento linear para distingui-lo dos deslocamentos que envolvem rotação, denominados deslocamentos angulares.

Ao considerar o espaço-tempo, uma mudança de coordenada no tempo é considerada uma translação. Por exemplo, o grupo de Galileu e o grupo de Poincaré incluem translações em relação ao tempo.

Ver também

• Advecção
• Transporte paralelo
• Matriz de rotação
• Matriz de transformação
• Invariante por translação

Referências

1. Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry. The Macmillan Company. [S.l.: s.n.]
2. Richard Paul, 1981, Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators, MIT Press, Cambridge, MA
3. Edmund Taylor Whittaker (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-35883-3
4. Whittaker, E. T.; McCrae, Sir William (15 de dezembro de 1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. [S.l.]: Cambridge University Press