A Transformada Z é um método operacional útil no tratamento de sistemas (de tempo) discretos. É também de grande importância na análise de sinais digitais e no projeto de sistemas de controle digital. Sabe-se que a transformada de Laplace (1749-1827) tem sido usada desde longa data na solução de equações diferenciais contínuas e invariantes no tempo.
Em engenharia, a ideia por trás do nome “Transformada” consiste, basicamente, em uma operação matemática que tem por finalidade promove algum tipo de simplificação. Dessa forma, o logaritmo consiste, provavelmente, na ferramenta mais antiga de que se tem notı́cia cujo conceito se aproxima da ideia de transformada, uma vez que transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, além de ser útil na resolução de equações cujos expoentes são desconhecidos (Boyer, 1974).[1] Em verdade, o conceito das transformadas vai muito além dos logaritmos no contexto da engenharia, em que desempenham papel importante. Entre as mais conhecidas (e com certeza mais utilizadas) figura a Transformada Z.
Entretanto, métodos para o tratamento de problemas de tempo discreto são relativamente recentes. Um método para a resolução de equações de diferenças lineares e invariantes no tempo foi apresentado por Gardner e Barnes aos seus alunos de engenharia no início da década de 1940.[2] Eles aplicaram tal procedimento, que era baseado principalmente em jump functions (funções usadas para representar uma sequência de dados amostrados), na resolução de linhas de transmissão e aplicações envolvendo funções de Bessel. Tal abordagem era bastante complexa, e, na tentativa de "dividir para simplificar", uma transformação de um sinal amostrado foi proposta em 1947 por Witold Hurewicz (1904-1956).[3] Tal transformação era escrita como função da sequência amostrada f (no domı́nio do tempo) ao invés do número complexo z da notação moderna:[3]
Seja definida para . A Transformada Z bilateral da função é dada por:
Em 1952, cinco anos após a tentativa de Hurewicz, a transformação foi batizada de Transformada Z pelo Sampled-data control group, liderada por John Ralph Raggazini (1912-1988), com Eliahu Ibrahim Jury (que, na época, era aluno de doutorado de Raggazini, mas que acabou sendo um dos principais desenvolvedores da teoria), Lotfi Zadeh (famoso pela criação da lógica Fuzzy) e colaboradores da Columbia University, com o artigo “The Analysis of sampled-Data Systems” (1952),[4] considerado um dos pioneiros trabalhos sobre a transformada Z. Ao que tudo indica, o termo “Z" foi provavelmente utilizado porque ser relativamente incomum contexto da Engenharia Elétrica (na década de 1950), ainda que remonte ao nome do próprio Zadeh.
onde é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.
Região de convergência da tranformada Z
A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge:
No caso em que , para , a série converge para valores de em módulo, maiores que o raio de convergência :
Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano que se encontram fora do círculo de raio , centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC ou ROC, da sigla em inglês Region of Convergence).
Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:
então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.
Linearidade
Teorema do valor inicial
Teorema do valor final
Deslocamento temporal
Atraso
Se é um sinal discreto, então
Definindo
Mudança de Escala
Derivada da Transformada Z
Transformadas das sucessões de senos e co-senos
Consideremos uma função discreta
onde e são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é
também válido para números reais já que a série geométrica também converge no
plano complexo, obtemos
multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do
denominador, podemos separar as partes real e imaginária
Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo e a linearidade da transformada Z, podemos escrever
onde e são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos
onde as constantes e são definidas por
Multiplicação por exponencial
A multiplicação da sequência por uma sequência exponencial da forma corresponde a uma dilatação no domínio de :
Reversão temporal
Convolução em Tempo Discreto
Transformada da Derivada
Seja
Função de Transferência
Assim, a função transferência significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado
A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.
Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável .[5]
Seja definida para . A Transformada Z uniateral da função é dada por:
Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:
então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:
Deslocamento temporal
Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneas
A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.
Usando a expressão que obtivemos para a transformada de , podemos
escrever
vemos que
Assim, a transformada da equação de diferenças será
e daí obtemos
O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas
inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de
fora um fator no numerador, que será necessário manter em todas as
frações parciais.[6]
Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:
multiplicando cada fração parcial pelo fator que deixamos de fora,
obtemos o lado direito da (Equação)
assi,, encontramos a solução do problema de
valores iniciais
Circuito elétrico
Circuito escada simétrico de (k+1) malhas
Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.
Sendo todas as resistências iguais, , onde represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e , a intensidade de corrente que passa nessa resistência.
Analisando a primeira malha, tem-se que:
, ou ainda,
Primeira malha do circuito
Da segunda malha segue:
, ou seja
Assim percebe-se que, não é preciso conhecer para obter , pois
k_ésima malha do circuito
Tem-se ainda, uma série:
, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de para qualquer elemento do circuito.
Aplicando a Transformada , obtém-se:
ou seja,
Assim,
Consequentemente,
Aplicando a Transformada inversa
Sendo a solução desta equação de diferenças dada por
A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável.[7]
Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.
Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). «The analysis of sampled-data systems». AIEE Trans. v. 7: p. 225-234. Consultado em 22 de maio de 2022 !CS1 manut: Texto extra (link)
P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. Carmichael: Berkeley-Cambridge Press. 674páginas. ISBN0-941413-35-7