Na matemática, certos tipos de prova equivocada são frequentemente exibidos e, às vezes, coletados, como ilustrações de um conceito chamado falácia matemática. Há uma distinção entre um erro simples e uma falácia matemática em uma prova, pois um erro em uma prova leva a uma prova inválida, enquanto nos exemplos mais conhecidos de falácias matemáticas há algum elemento de ocultação ou engano na apresentação da prova.
Por exemplo, a razão pela qual a validade falha pode ser atribuída a uma divisão por zero que está oculta pela notação algébrica. Há uma certa qualidade na falácia matemática: como normalmente apresentada, ela leva não apenas a um resultado absurdo, mas o faz de maneira astuta ou inteligente.[1] Portanto, essas falácias, por razões pedagógicas, costumam assumir a forma de provas espúrias de contradições óbvias. Embora as provas sejam falhas, os erros, geralmente por design, são comparativamente sutis, ou projetados para mostrar que certas etapas são condicionais e não são aplicáveis nos casos que são exceções às regras.
A maneira tradicional de apresentar uma falácia matemática é dar uma etapa de dedução inválida misturada com etapas válidas, de modo que o significado de falácia aqui é ligeiramente diferente da falácia lógica. O último geralmente se aplica a uma forma de argumento que não obedece às regras de inferência válidas da lógica, enquanto o passo matemático problemático é tipicamente uma regra correta aplicada com uma suposição errada tácita. Além da pedagogia, a resolução de uma falácia pode levar a insights mais profundos sobre um assunto (por exemplo, a introdução do axioma de Pasch da geometria euclidiana,[2] o teorema das cinco cores da teoria dos grafos). Pseudaria, um antigo livro perdido de provas inválidas, é atribuído a Euclides.[3]
Falácias matemáticas existem em muitos ramos da matemática. Na álgebra elementar, exemplos típicos podem envolver uma etapa em que a divisão por zero é realizada, onde uma raiz é extraída incorretamente ou, mais geralmente, onde diferentes valores de uma função multivalorada são igualados. Falácias bem conhecidas também existem na geometria e cálculo euclidianos elementares.[4][5]
Erros óbvios
Há exemplos de resultados matematicamente corretos derivados de raciocínios incorretos. Tal argumento, por mais verdadeira que a conclusão pareça ser, é matematicamente inválido. O seguinte é um exemplo de um erro envolvendo cancelamento indevido:
Por mais que 1664 = 14 está correto, no entanto, é utilizado uma operação falaciosa, é efetuado um cancelamento indevido.[nota 1]
Provas falsas, cálculos ou derivações construídas para produzir um resultado correto, apesar da lógica ou operações incorretas, foram denominados "howlers" por Maxwell.[2] Fora do campo da matemática, o termo howler tem vários significados, geralmente menos específicos.
Divisão por zero
A falácia da divisão por zero possui diversas variantes. A seguinte usa uma divisão por zero disfarçada para "provar" que 2 = 1, mas pode ser modificada para que qualquer número seja igual a qualquer outro número.
- Seja a e b iguais, mas diferentes de zero
- Multiplique por a
- Subtraia b2
- Fatore ambos os lados: no lado esquerdo usa-se a diferença de dois quadrados, e na direita colocando b em evidência
- Divida por (a − b)
- Use o fato que a = b
- Combine os termos semelhantes na esquerda
- Divida por b, que é diferente que b
A falácia está na linha 5: a progressação da linha 4 para a 5 envolve dividir por a − b, que é zero, visto que a = b. Como a divisão por zero é indefinida, o argumento é inválido.
Notas
- O mesmo se aplica para os seguintes cálculos:
Referências
- Maxwell 1959, p. 9
- Heath & Heiberg 1908, Chapter II, §I
- Barbeau, Ed (1991). «Fallacies, Flaws, and Flimflam» (PDF). The College Mathematics Journal. 22 (5). ISSN 0746-8342
- «soft question – Best Fake Proofs? (A M.SE April Fools Day collection)». Mathematics Stack Exchange. Consultado em 24 de outubro de 2019
- Heuser, Harro (1989), Lehrbuch der Analysis – Teil 1, ISBN 978-3-8351-0131-9 (em inglês) 6ª ed. , Teubner, p. 51
Bibliografia
Ligações externas
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