Progressão geométrica

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.^[1] A razão é indicada geralmente pela letra ${\displaystyle q}$ (inicial da palavra "quociente").

Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• ${\displaystyle \left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,\ldots \right),}$ em que ${\displaystyle q=2}$ e ${\displaystyle a_{1}=1;}$ ^[1]
• ${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},{\frac {1}{64}},{\frac {1}{128}},{\frac {1}{256}},\ldots \right),}$ em que ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}}$ e ${\displaystyle a_{1}=1;}$
• ${\displaystyle \left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,\ldots \right),}$ em que ${\displaystyle q=-3}$ e ${\displaystyle a_{1}=-3;}$
• ${\displaystyle \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,\ldots \right),}$ em que ${\displaystyle q=1}$ e ${\displaystyle a_{1}=7;}$
• ${\displaystyle \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots \right),}$ em que ${\displaystyle q=0}$ e ${\displaystyle a_{1}=3;}$

Termo geral

Costuma-se denotar por ${\displaystyle a_{n}}$ o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial ${\displaystyle a_{1}}$ e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• ${\displaystyle a_{n}=a_{1},n=1;}$
• ${\displaystyle a_{n+1}=q\cdot a_{n},n=2,3,4,\ldots .}$

Podemos demonstrar por indução matemática que:

$${\displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.}$$

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

$${\displaystyle a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z} }$$

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

$${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}.}$$

Caso ${\displaystyle q\neq 1,}$ a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula: $${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}}$$

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

$${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.}$$

Multiplica-se pela razão ${\displaystyle q:}$

$${\displaystyle q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.}$$

Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

$${\displaystyle q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},}$$ o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a $${\displaystyle \left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).}$$

Divide-se ambos os termos por ${\displaystyle (q-1)\neq 0}$ e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de ${\displaystyle a_{m}}$ até ${\displaystyle a_{n}}$ é calculada pela seguinte fórmula:

$${\displaystyle S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.}$$

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando ${\displaystyle |q|<1.}$ Sua soma é:

$${\displaystyle S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}$$

Se ${\displaystyle q\geq 1}$ e ${\displaystyle a_{1}>0}$ então sua soma é mais infinito e se ${\displaystyle q\geq 1}$ e ${\displaystyle a_{1}<0,}$ sua soma é menos infinito.

$${\displaystyle S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.}$$

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso ${\displaystyle q\leq -1,}$ por exemplo. ${\displaystyle q}$ pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por $${\displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},}$$ e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: $${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},}$$ sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão ${\displaystyle q}$ deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

• ${\displaystyle (4,4,4,4,4,4,4,4,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=1}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=4}$
• ${\displaystyle (6,6,6,6,6,6,6,6,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=1}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=6}$

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão ${\displaystyle q}$ é superior a 1 e seu primeiro termo ${\displaystyle a_{1}}$ é superior a 0 ou quando sua razão ${\displaystyle q}$ está entre 0 e 1 e seu primeiro termo ${\displaystyle a_{1}}$ é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: ${\displaystyle q>1}$ e ${\displaystyle a_{1}>0}$ ou ${\displaystyle 0<q<1}$ e ${\displaystyle a_{1}<0.}$

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

• ${\displaystyle (1,3,9,27,81,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=3}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=1.}$
• ${\displaystyle (-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)}$ tem razão ${\displaystyle q=0,5}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=-4.}$

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão ${\displaystyle q}$ é superior a 1 e seu primeiro termo ${\displaystyle a_{1}}$ é inferior a 0 ou quando sua razão ${\displaystyle q}$ está entre 0 e 1 e seu primeiro termo ${\displaystyle a_{1}}$ é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: ${\displaystyle q>1}$ e ${\displaystyle a_{1}<0}$ ou ${\displaystyle 0<q<1}$ e ${\displaystyle a_{1}>0.}$

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

• ${\displaystyle (-4,-8,-16,-32,-64,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=2}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=-4.}$
• ${\displaystyle (64,32,16,8,4,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=1/2}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=64.}$

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão ${\displaystyle q}$ é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: ${\displaystyle q<0.}$

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

• ${\displaystyle (3,-6,12,-24,48,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=-2}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=3.}$
• ${\displaystyle (4,-16,64,-256,1024,...)}$ tem razão ${\displaystyle q=-4}$ e primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=4.}$

Exemplo de progressão geométrica

Abaixo temos uma tabela na qual o termo ${\displaystyle a_{n=1}=2}$ e o termo ${\displaystyle a_{n=2}=6,}$ e assim sucessivamente em progressão geométrica.

${\displaystyle P_{n}=a_{1}\cdot q^{(n-1)}}$ onde ${\displaystyle q={\frac {a_{2}(6)}{a_{1}(2)}}=3}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a}$
1	2
2	6
3	18
4	54
5	162
6	486
7	1.458
8	4.374
9	13.122
10	39.366
11	118.098
12	354.294
13	1.062.882
14	3.188.646
15	9.565.938
16	28.697.814
17	86.093.442
18	258.280.326
19	774.840.978
20	2.324.522.934

• Qual é o 8º termo da PG acima?

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{8}&=2\cdot 3^{(8-1)}\\&=2\cdot 3^{7}\\&=2\cdot 2.187\\&=4.374\end{aligned}}}$$

Enésimo termo de uma PG

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente(${\displaystyle q}$).

$${\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}}$$

Após obtido o quociente(${\displaystyle q}$) o enésimo(${\displaystyle e}$) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo ${\displaystyle n,}$ ou seja, ${\displaystyle (n-e).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}}$$

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo(${\displaystyle m}$) igual a 1.250 e o 8º termo(${\displaystyle n}$) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo(${\displaystyle e}$)?

$${\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}}$$

Agora usando o quociente (${\displaystyle q}$) na fórmula do enésimo termo (${\displaystyle P_{e}}$).

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{5^{6}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{15.625}}\\P_{e}&=10\end{aligned}}}$$

O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Wikilivros

• Progressão aritmética
• Progressão aritmético-geométrica
• Logaritmo
• Função exponencial
• Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
• Série geométrica

Referências

1. Encyclopaedia perthensis, editada por J. Brown (1816) [google books]

• Portal da matemática