Movimento harmônico simples

O movimento harmônico simples (MHS) é o movimento oscilatório periódico ocorrido quando a aceleração e a força resultante são proporcionais e opostas ao deslocamento. É um tipo de frequência do movimento, onde oscila a massa.^[1] É explicável por um modelo matemático para alguns movimentos vibratórios observáveis em alguns fenômenos (pêndulo ou vibração molecular).^[2]

Num modelo físico construído com molas, o movimento harmônico simples é observável em massas presas a uma mola ligada a um suporte rígido, como uma parede. Se o sistema está na posição de repouso, diz-se em equilíbrio estático.^[1] No entanto, se a massa é deslocada a partir da posição de equilíbrio, uma reposição da mesma vai ser exercida pela mola, chamada de elasticidade, seguindo assim a lei de Hooke.^[3]

Matematicamente, a força resultante F é dada a partir de ${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}$ onde F é uma força elástica exercida por uma mola (no SI: Newton N, k na Lei de Hooke (N·m⁻¹), e x que é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (em m).^[1] Contudo, para qualquer movimento harmônico simples, determina-se que quando o sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio, uma força restauradora que obedece à lei de Hooke tende a restaurar o sistema para esse equilíbrio. Uma vez que a massa é deslocada da sua posição de equilíbrio, experimenta uma força resultante de restauração. Como resultado, ela acelera e começa a voltar à posição de equilíbrio.

Quando a massa se ​​aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui. Na posição de equilíbrio, a força resultante restaurada desaparece. No entanto, em x= 0, a força da massa não desaparece devido ao impulso da força restauradora que agiu sobre ele. Portanto, a massa continua além da posição de equilíbrio, comprimindo a mola. Então, a força resultante restaurada tende a desacelerar, até a sua velocidade desaparecer, tentando chegar novamente à posição de equilíbrio.^[1]

Dinâmica

O movimento harmônico simples mostra que no espaço real (real space) e no espaço fásico (phase space) a órbita é periódica (aqui a velocidade e a posição dos eixos foi revertida a partir da convenção padrão, a fim de alinhar os dois diagramas).

A posição, a velocidade e a aceleração de uma oscilação harmônica

Para o movimento harmônico simples unidimensional, a equação dos movimentos é aplicada à segunda lei linear com uma equação diferencial ordinária com seus coeficientes constantes, a partir da segunda lei de Newton e da lei de Hooke.

${\displaystyle F_{net}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$

onde m é a massa inercial com a oscilação do corpo, x é o vetor de deslocamento para o equilíbrio estático e k é a constante elástica, sendo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\left({\frac {k}{m}}\right)x}$

Abaixo, uma resolução da equação diferencial, obtendo-se um senoide como solução:

A posição, a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples e as suas fases

${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$ onde

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}$

${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}$

Na solução, c₁ e c₂ são duas constantes determinadas nas condições iniciais e a sua origem está levando a uma posição de equilíbrio. Cada uma destas constantes leva a um padrão físico ao movimento: A é a amplitude (deslocamento máximo da posição de equilíbrio), ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ é a sua frequência angular, e φ é uma fase. Usando as técnicas do cálculo diferencial, a velocidade e a aceleração têm uma das seguintes funções de tempo:

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \operatorname {sen}(\omega t-\varphi ),}$

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$

A aceleração pode ser expressado pela função de deslocamento:

${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.\!}$

Já que ${\displaystyle \omega =2\pi f}$,

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

e que T = 1/f onde T é o período de tempo,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$

Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isócrono (o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento).^[1]

Energia

A energia cinética K de um sistema em função do tempo t é:

${\displaystyle K(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\omega t-\varphi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\omega t-\varphi ),}$

e a energia potencial é:

${\displaystyle U(t)={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$

A adição entre a energia cinética e potencial no cálculo da energia mecânica é medida por:

${\displaystyle E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}.}$.^[4]

Aplicações

Abaixo tem alguns exemplos de sistemas que usam o movimento harmônico simples:

Massa na mola sob ação da gravidade

Um sistema de massa-mola não-amortecida passa por um movimento harmônico simples.

Considere um bloco de massa m equilibrado por uma mola constante k sob ação da gravidade. Na situação de equilíbrio, a força gravitacional e a força elástica se igualam. Matematicamente, ${\displaystyle k(y-y_{0})=-mg}$, onde ${\displaystyle y_{0}}$ é a posição natural da mola e ${\displaystyle g}$ é a aceleração devido à gravidade. Note que ${\displaystyle y=y_{0}}$ se ${\displaystyle g=0}$ conforme se espera. Assim, a posição de equilíbrio se desloca por uma distância ${\displaystyle mg/k}$.

O que ocorre quando o sistema é deliberadamente retirado da posição de equilíbrio e depois abandonado? A força exercida pela mola atua no sentindo de restaurar à posição natural: assim o objeto oscila verticalmente. Pela segunda lei de Newton podemos escrever

${\displaystyle m{\ddot {y}}=-mg-k(y-y_{0})}$

onde ${\displaystyle {\ddot {y}}}$ é a aceleração (vertical) da mola e ${\displaystyle y_{0}}$ é a posição natural (onde a força restauradora é nula). A força gravitacional sempre em direção ao solo enquanto a força da mola só aponta para o solo se ${\displaystyle y>y_{0}}$.

Podemos simplificar através de uma mudança de variável. Seja ${\displaystyle kY=mg+k(y-y_{0})}$, então a segunda derivada (aceleração) é ${\displaystyle {\ddot {Y}}={\ddot {y}}}$, pois todos os demais termos são constantes. Assim, a equação se transforma na equação do movimento harmônico simples:

${\displaystyle m{\ddot {Y}}=-kY}$.

Nesta variável o movimento é harmônico simples com período ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$. Desta maneira, evidencia-se que o período de oscilação é independente tanto da amplitude quanto da aceleração gravitacional. Vamos supor que as condições iniciais sejam tais que

${\displaystyle Y(t)=Y(0)\cos(\omega t)}$,

onde ${\displaystyle Y(0)}$ é a amplitude e ${\displaystyle w=2\pi /T}$ é a frequência angular da oscilação. Para saber como o bloco se desloca no mundo físico devemos voltar para a variável inicial ${\displaystyle y(t)}$. Assim

${\displaystyle y(t)=Y(t)+{\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}=Y(0)\cos(\omega t)+{\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}}$

é a equação de movimento de um bloco oscilando devido à força elástica de uma mola sob ação da gravidade.

A conclusão é que (1) o movimento tem o mesmo período independente da amplitude e da gravidade^[1], e (2) o bloco oscila com amplitude ${\displaystyle Y(0)}$, mas entre os pontos ${\displaystyle y_{max}={\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}+Y(0)}$ e ${\displaystyle y_{min}={\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}-Y(0)}$.

Movimento circular uniforme

O movimento harmônico simples pode ser muitas vezes considerado como uma projeção matemática do movimento circular uniforme. Se um objeto se movimenta com uma velocidade angular ω ao redor de um círculo de um raio r centralizado de uma origem de um plano de x-y, este movimento é em cada coordenada um movimento simples harmônico com uma amplitude r e uma frequência angular ω.^[1]

Pêndulo simples em regime de pequenas oscilações

O movimento de um pêndulo não-amortecida aproxima para o movimento simples harmônico se a amplitude é muito pequena relativo do comprimento L da haste.

Considere um objeto preso a uma haste inextensível oscilando sob ação da força gravitacional. A este sistema denominamos Pêndulo Simples. De maneira geral, atuam sob o objeto a força ${\displaystyle T}$ de tração da haste, que o mantém oscilando em um arco de círculo a uma distância fixa ${\displaystyle L}$ do ponto fixo que prende a haste ao teto; e também a força gravitacional ${\displaystyle mg}$. Decompomos a força gravitacional de forma que conhecemos a componente na direção da força de tração, que nos fornece ${\displaystyle T=mg\cos(\theta )}$, e também a componente responsável pelo movimento

${\displaystyle F=-mg\sin(\theta )}$

Assim, a força restaura o objeto para a situação de ângulo nulo, ${\displaystyle \theta =0}$, mas o problema se torna mais difícil por tratar com uma função trigonométrica.

Iremos então tomar um caso especial, a situação de pequenos ângulos. Neste caso, ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ e eliminamos a função trigonométrica. Note que a distância horizontal é dada por ${\displaystyle x=L\sin(\theta )\approx L\theta }$ de forma que neste regime (e apenas neste regime), podemos escrever:

${\displaystyle F=-mg\theta =-{\biggl (}{\frac {mg}{L}}{\biggr )}x}$.

Compare esta expressão à Lei de Hooke. Um pêndulo simples é equivalente a um oscilador linear. A constante ${\displaystyle k}$ de reconstituição seria igual à ${\displaystyle mg/L}$. Substituindo o valor de ${\displaystyle k}$ na fórmula do período de um movimento harmônio simples se obtém

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{mg/L}}}}$,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$^[1].

Resumidamente, para deduzir a equação do período, estabelece-se que o ângulo θ descrito pelo pêndulo de sua posição de repouso até sua amplitude máxima seja menor que 10°, assim é possível aproximar o valor do ângulo com seu seno.

Reescrevendo as equações do movimento harmônico simples para torná-las mnemônicas

Aplicação	Variáveis	Fórmula
Massa na mola	${\displaystyle K,m}$	${\displaystyle K=m\omega ^{2}}$
Aceleração centrípeta	${\displaystyle a,A}$	${\displaystyle a=A\omega ^{2}}$
Pêndulo	${\displaystyle g,L}$	${\displaystyle g=L\omega ^{2}}$[1]
Oscilador LC	${\displaystyle L,C}$	${\displaystyle 1=LC\omega ^{2}}$
Oscilador RLC paralelo	${\displaystyle R,L,C}$	${\displaystyle 1=LC\left(\omega ^{2}+\left({\frac {R}{2L}}\right)^{2}\right)}$
	${\displaystyle R,L,C}$	${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {1}{LC}}-\left({\frac {R}{2L}}\right)^{2}}$

Ver também

• Dinâmica
• Pêndulo
• Movimento circular uniforme
• Movimento harmônico (física)

Referências

1. TIPLER, Paul; MOSCA, Gene (2009). Física para cientistas e engenheiros 6 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 466. ISBN 978-85-216-1710-5 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
2. WALKER, Jearl (2011). Principles of physics 9 ed. Hoboken: Wiley. ISBN 0-470-56158-0
3. TIPLER, Paul; MOSCA, Gene (2009). Física para cientistas e engenheiros 6 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 114. ISBN 978-85-216-1710-5 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
4. Jain 2009, p. 12

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