Octonião

Na matemática, os octoniões ^{(português europeu)} ou octônios ^{(português brasileiro)} são uma extensão não-associativa dos quaterniões. Sua álgebra da divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é o mais extenso que pode ser obtido da construção de Cayley-Dickson. A álgebra do octoniões é frequentemente denotada como ${\displaystyle \mathbb {O} }$.

Conjuntos de números

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }$ Naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Irracionais ${\displaystyle \mathbb {I} }$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em ${\displaystyle \mathbb {R} }$) Reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Imaginários Complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Octoniões ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Sedeniões ${\displaystyle \mathbb {S} }$ Complexos hiperbólicos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Possivelmente por não oferecerem uma multiplicação associativa, os octoniões recebem às vezes menos atenção do que os quaterniões. Apesar desta falta da popularidade, eles são relacionados a um número de estruturas excepcionais na matemática, entre elas os grupos excepcionais de Lie. Octoniões são também promissores na física, por exemplo, para avanços na teoria das cordas.

Definição

Os octoniões podem ser definidos como octetos (ou 8-truplas) de números reais. Cada octonião é uma combinação linear real dos octoniões unitários ${\displaystyle 1,i,j,k,l,il,jl\,}$ e ${\displaystyle kl\,}$. Isto é, cada octonião ${\displaystyle x\,}$ pode ser escrito na forma

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl\,}$

com coeficientes reais ${\displaystyle x_{i}\,}$.

A adição dos octoniões é realizada somando-se os coeficientes correspondentes, como com os números complexos e os quaterniões. Pela linearidade, a multiplicação dos octoniões é completamente determinada pela tabela da multiplicação para os octoniões unitários dados abaixo

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	-1	k	-j	il	-l	-kl	jl
j	-k	-1	i	jl	kl	-l	-il
k	j	-i	-1	kl	-jl	il	-l
l	-il	-jl	-kl	-1	i	j	k
il	l	-kl	jl	-i	-1	-k	j
jl	kl	l	-il	-j	k	-1	-i
kl	-jl	il	l	-k	-j	i	-1

A base para os octoniões dada aqui não é quase tão universal quanto a base padrão para os quaterniões; entretanto, quase todas as outras diferem dessa somente quanto à ordem e o sinal.

Observa-se que a multiplicação não é associativa: i(jl) = -kl, mas (ij)l = kl.

Conjugado, norma e inverso

O conjugado de um octonião

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

é dado por

${\displaystyle x=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

A conjugação é uma involução de ${\displaystyle \mathbb {O} }$ e satisfaz ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}\,}$ (note a mudança de ordem).

A parte real de ${\displaystyle x\,}$ é definida como ${\displaystyle {(x+x^{*})} \over 2\,}$ ${\displaystyle =x_{0}\,}$ e a parte imaginária como ${\displaystyle {(x-x^{*})} \over 2\,}$. O conjunto de todos os octoniões puramente imaginários forma um subespaço de 7 dimensões de ${\displaystyle \mathbb {O} }$, denotado ${\displaystyle Im\,}$ ${\displaystyle \mathbb {(O)} }$.

A norma do octonião ${\displaystyle x\,}$ é definida como

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$

A raiz quadrada é definida aqui como ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}\,}$, que é sempre um número real não negativo:

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}$

Essa norma concorda com a norma euclidiana padrão em ${\displaystyle R^{8}\,}$.

A existência de uma norma em ${\displaystyle \mathbb {O} }$ implica a existência de inversos para cada elemento diferente de

zero de ${\displaystyle \mathbb {O} }$. O inverso de ${\displaystyle x\neq 0\,}$ é dado por

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$

Isso satisfaz ${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1\,}$.

Ver também

• Quaterniões
• Quaterniões hiperbólicos
• Números complexos
• Números complexos hiperbólicos
• Sedeniões