Matriz singular

Em matemática, uma matriz quadrada é dita singular quando não admite uma inversa. Essas matrizes têm determinante nulo.^[1]

Propriedades

• Uma matriz é singular se e somente se seu determinante é nulo. Por exemplo, se uma matriz quadrada tiver pelo menos uma linha ou coluna nula, terá determinante zero (0), o que caracteriza uma matriz singular.
• Uma matriz ${\displaystyle A\,}$ é singular se e somente se existir um vetor ${\displaystyle x\,}$ não nulo tal que:

${\displaystyle Ax=0\,}$

• Se uma matriz ${\displaystyle A\,}$ é singular, então o problema ${\displaystyle Ax=b\,}$ ou não possui solução ou possui infinitas soluções.

Exemplos

Existem 10 matrizes singulares com dimensão 2X2 compostas dos números 0 e 1:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}}$

Mais exemplos de matrizes singulares podem ser obtidos multiplicando-se as matrizes acima por escalares reais.

• A matriz ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}}$ é singular porque ${\displaystyle det(A)={\begin{vmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{vmatrix}}=0}$^[1].

Referências

1. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo (1987). Álgebra Linear. São Paulo: Pearson Education. p. 466. 583 páginas. ISBN 9780074504123

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