Matriz idempotente

Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. ^[1][2] Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se ${\displaystyle AA=A}$^[3]. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

Propriedades

• Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.^[4]
• Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:

  ${\displaystyle I=AA^{-1}=A^{2}A^{-1}=A\left(AA^{-1}\right)=A}$

• Se uma matriz A é idempotente, a matriz ${\displaystyle I-A}$ também é.^[3]

Matriz de projeção

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.^[5] Seja ${\displaystyle X}$ uma matriz de dimensão ${\displaystyle n\times k}$ com posto ${\displaystyle rank(A)=k}$ . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

${\displaystyle P\equiv X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}}$, onde ${\displaystyle X^{T}}$ denota a matriz transposta de X e ${\displaystyle \left(X^{T}X\right)^{-1}}$ denota a matriz inversa da matriz ${\displaystyle X^{T}X}$. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que ${\displaystyle PX=X}$ ^[6].

• Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{1}}$ de tal forma que ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\end{bmatrix}}}$, então

${\displaystyle PX_{1}=X_{1}}$:^[7]

Por exemplo, sejam as matrizes ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}},X_{1}={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}},X_{2}={\begin{bmatrix}{b}\\{d}\end{bmatrix}}}$. Então,

${\displaystyle PX_{1}=}$${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}} \\P\end{matrix}}*{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}&{a}{b}+{c}{d}\\{a}{b}+{c}{d}&{b}^{2}+{d}^{2}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}\\{a}{b}+{c}{d}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle ={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}}$

• A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)^[7]:

${\displaystyle Py=\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}y=X{\hat {\beta }}={\hat {y}}}$

• P é sempre positiva semi-definida.
• Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

Matriz de aniquilação

• Matriz de aniquilação: ${\displaystyle M\equiv I_{n}-P\equiv I_{n}-X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}}$. Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que ${\displaystyle MX=0}$.^[6]

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

${\displaystyle y=X\beta +\varepsilon =X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+\varepsilon }$, sendo ${\displaystyle X_{1},X_{2},\beta _{1},\beta _{2}}$ matrizes, poderemos definir

${\displaystyle M_{1}\equiv I_{n}-X_{1}\left(X_{1}^{T}X_{1}\right)^{-1}X_{1}^{T}}$ e

${\displaystyle M_{2}\equiv I_{n}-X_{2}\left(X_{1}^{T}X_{2}\right)^{-1}X_{2}^{T}}$

E então podemos estimar os coeficientes separadamente^[8]:

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=\left(X_{1}^{T}M_{2}X_{1}\right)^{-1}\left(X_{1}^{T}M_{2}y\right)}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}=\left(X_{2}^{T}M_{1}X_{2}\right)^{-1}\left(X_{2}^{T}M_{1}y\right)}$

Notas

1. Chiang, Alpha C. (1984), p. 80.
2. Greene, William H. (2003), pp. 808–809.
3. CHEN, Mei Yuan (2003)
4. WOOLDRIDGE, p. 104.
5. WOOLDRIDGE
6. HAYASHI, Fumio (2000), p. 18
7. HANSEN, Bruce (2011) p. 77
8. HANSEN, Bruce (2011) p. 80

Referências

• CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
• Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80.
• Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809.
• WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
• HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
• HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.

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